Асимптотичне інтегрування систем сингулярно збурених диференціальних рівнянь з точкою звороту

Зеленська І.О. Асимптотичне інтегрування систем сингулярно збурених диференціальних рівнянь з точкою звороту : дис. … доктора філософії : 111 Математика / Наук. кер. В.В. Собчук. Київ, 2025. 201 с.

Дисертацiйна робота присвячена асимптотичному iнтегруванню системи сингулярно збурених диференцiальних рiвнянь з диференцiальною точкою звороту. Дисертацiя складаеться з анотацiй українською та англiйською мовами; вступу; трьох роздiлiв основної частини; висновкiв; списку використаних джерел та додатку. У вступi обгрунтовано актуальнiсть теми; вказано зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами, встановлено мету i завдання; об’єкт; предмет та методи дослiдження, наведено наукову новизну та практичне значення отриманих результатiв, охарактеризовано особистий внесок здобувача, наведено список конференцiй та наукових семiнарiв, на яких дисертацiйна робота пройшла апробацiю, та короткий змiст роботи. У першому роздiлi дисертацiйної роботи наведено огляд лiтератури за тематикою дослідження та результатiв, отриманих iншими авторами. Також цей роздiл мiстить порiвняльний аналiз iз деякими роботами, що мiстять подiбнi результати. У другому роздiлi дисертацii дослiджується питання про побудову рiвномiрної асимптотики розв’язку для стабiльної диференцiальної точки звороту за рiзних умов на коефiцiєнти основної матрицi. Отримано необхiднi умови для забезпечення iснування рiвномiрноi асимптотики розв’язку системи сингулярно збурених диференцiальних рiвнянь. Окремо розглянуто випадок, коли коефiцiєнти основної матрицi мають рiзнi знаки. Також дослiджено випадок, коли коефiцiєнти матрицi мають однаковi знаки. У третьому роздiлi дисертацiї дослiджується питання про побудову рiвномiрної асимптотики розв’язку для нестабiльної диференцiальної точки звороту за рiзних умов на коефiцiєнти основної матрицi. Також у дисертацiйнiй роботi наведенi приклади застосування методу iстотно особливих функцiй до дослiдження систем сингулярно збурених диференцiальних рiвнянь з конкретно заданими коефiцiєнтами основної матрицi та правої частини системи.
У дисертацiйнiй роботi отримано такi новi науковi результати:
- розроблено метод побудови рівномірної асимптотики розв'язку системи сингулярно збурених диференціальних рівнянь з точкою звороту, яку отримано з відповідного сингулярно збуреного диференціального рівняння третього порядку типу Лiувiлля;
- для системи сингулярно збурених диференціальних рівнянь розглянуто випадок диференціальної точки звороту для рiзних значень коефіцієнтів матрицi, а саме коли коефіцієнти обидва додатнi; обидва вiд’ємнi та обидва, відповідно, почергово рiзних знакiв;
- отримано необхiднi умови регуляризацiї системи сингулярно збурених диференціальних рівнянь з диференціальною точкою звороту;
- розроблено алгоритм, який включає вiсiм етапiв iнтегрування систем сингулярно збурених диференцiальних рiвнянь з точкою звороту;
- побудовано асимптотику розв’язкiв для рiзних значень коефiцiєнтiв матрицi; а саме коли коефiцiєнти обидва додатнi; обидва вiд’ємнi та обидва, вiдповiдно, почергово рiзних знакiв;
- наведено приклади побудови асимтотики розв’язкiв системи сингулярно збурених диференцiальних рiвнянь з диференцiальною точкою звороту за умов, коли значення коефіцієнтів матрицi почергово рiзних знакiв.
Дисертацiйна робота має теоретичне значення. Результати роботи доповнюють теорiю сингулярно збурених диференцiальних рiвнянь з точкою звороту та можуть бути використанi в подальшому для розробки нових методiв асимптотичного аналiзу, якi дозволять дослiджувати бiльш складнi класи систем сингулярно збурених рiвнянь. Одержанi в роботi результати також можуть мати прикладне значення, зокрема, при моделювання потокiв рiдини, визначенні характеристик хвиль та iнших параметрiв гiдродинамiчних систем.