Правильні восьмикутники в гіперболічній геометрії
Тип публікації :
Стаття
Дата випуску :
27 грудня 2024 р.
Мова основного тексту :
Ukrainian
eKNUTSHIR URL :
Журнал :
У світі математики
Випуск :
2
ISSN :
1029-4171
Початкова сторінка :
88
Кінцева сторінка :
103
Цитування :
[APA 7] Пришляк, О. О. (2024). Правильні восьмикутники в гіперболічній геометрії. У світі математики, (2), 88–103. https://doi.org/10.17721/1029-4171.2024/2.10
[ДСТУ] Пришляк О. О. Правильні восьмикутники в гіперболічній геометрії. У світі математики. 2024. № 2. С. 88—103. DOI: 10.17721/1029-4171.2024/2.10 (дата звернення: 25.07.2026).
При побудові гіперболічних структур на замкнених поверхнях можна використати гіперболічну геометрію (геометрію Лобачевського) на площині. Для цього потрібно подати поверхню у вигляді -кутника на гіперболічній площині і задати дію дискретної групи, що є підгрупою рухів гіперболічної площини, для якої -кутник є фундаментальною областю. Якщо такою поверхнею є подвійний тор (орієнтована поверхня роду ), то її можна отримати, склеївши протилежні сторони восьмикутника. Фактично площина Лобачевського розбивається на восьмикутники. Наявність симетрій спрощує обчислення. Тому природно виникає задача про розбиття на правильні восьмикутники. Крім того, важливо навести приклади таких восьмикутників, задавши координати їх вершин в одній з моделей гіперболічної геометрії.
Використовуються моделі верхньої півплощини та модель Пуанкаре на одиничному диску, для яких задана ріманова метрика (формула для знаходження довжин дуг кривих). Ми описуємо основні властивості гіперболічних прямих та групи рухів (групи ізометричних відображень) гіперболічної геометрії на площині за допомогою дробово-лінійних відображень комплексної площини з дійсними коефіцієнтами.
Отримано формулу для координат вершин та довжин діагоналей правильного восьмикутника з центром в початку координат у моделі Пуанкаре. Побудовано такі правильні восьмикутники, якими можна замістити гіперболічну площину, для чотирьох найбільших можливих кутів.
Використовуються моделі верхньої півплощини та модель Пуанкаре на одиничному диску, для яких задана ріманова метрика (формула для знаходження довжин дуг кривих). Ми описуємо основні властивості гіперболічних прямих та групи рухів (групи ізометричних відображень) гіперболічної геометрії на площині за допомогою дробово-лінійних відображень комплексної площини з дійсними коефіцієнтами.
Отримано формулу для координат вершин та довжин діагоналей правильного восьмикутника з центром в початку координат у моделі Пуанкаре. Побудовано такі правильні восьмикутники, якими можна замістити гіперболічну площину, для чотирьох найбільших можливих кутів.
Галузі знань та спеціальності :
11 Математика та статистика
Галузі науки і техніки (FOS) :
Математика
Файл(и) :![Ескіз]()
Вантажиться...
Формат :
Adobe PDF
Розмір :
624.87 KB
Контрольна сума :
(MD5):b8a3cc5e376ab814ca24e5ff84e31068
Якщо не вказано інше, ця робота розповсюджується на умовах ліцензії Creative Commons Attribution 4.0 International