Задачі оптимального керування диференціальними включеннями зі швидкоколивними коефіцієнтами

Жук Т. Ю. Задачі оптимального керування диференціальними включеннями зі швидкоколивними коефіцієнтами : дис. ... доктора філософії : 111 Математика. Київ, 2026. 129 с.

Жук Т.Ю. Задачі оптимального керування диференціальними включеннями зі швидкоколивними коефіцієнтами. - Кваліфікаційна наукова праця на правах рукопису.

Дисертація на здобуття наукового ступеня доктора філософії у галузі знань 11 "Математика та статистика", за спеціальністю 111 "Математика". - Київський нацiональний унiверситет iменi Тараса Шевченка, Міністерство освіти і науки України, Київ, 2026.

Дисертаційна робота присвячена дослідженню питань про існування та наближене знаходження розв'язків задач оптимального керування лінійними та нелінійними за керуванням диференціальними включеннями на скінченних та нескінченних інтервалах зі швидкоколивними коефіцієнтами.

Дисертація складається з анотацій українською та англійською мовами, вступу, трьох розділів основної частини, висновків, списку використаних джерел та додатку.

У вступi обґрунтовано актуальнiсть теми, вказано зв’язок даної роботи з науковими програмами, планами, темами, встановлено мету i завдання, об’єкт, предмет та методи дослiдження, наведено наукову новизну та практичне значення отриманих результатiв, охарактеризовано особистий внесок здобувача, наведено список конференцій та наукових семінарів, на яких дисертаційна робота пройшла апробацію, та короткий змiст роботи.

У першому роздiлі дисертаційної роботи наведено огляд лiтератури за тематикою дисертацiйної роботи та результатів, отриманих iншими авторами. Також цей розділ мiстить порiвняльний аналiз iз роботами інших авторів, що мiстять результати з тематики дисертаційного дослідження. Наведено основні положення застосування методу усереднення та ключові допоміжні результати за його використання. Висвітлено роботи авторів, що займалися його застосуванням, в тому числі в теорії задач оптимальних керувань.

У другому розділі дисертації досліджується питання про обгрунтування методу усереденння для наближеного розв'язання задачі оптимального керування для диференціального включення, лінійного за змінною керування, та зі швидкоколивними коефіцієнтами. Обгрунтовано збіжність оптимальних керувань і оптимальних траєкторій розв'язків точної задачі до оптимального керування і траєкторій усередненої задачі.

Багатозначнiсть породжує свої специфiчнi проблеми, такi як замкненiсть, опуклiсть сiм’ї розв’язкiв, iснування граничних розв’язкiв, видiлення розв’язкiв iз заданими властивостями, тощо. Проте добре розвинений апарат математичного аналiзу, що застосовуються до дослiдження багатозначних функцiй, дає можливiсть застосування методу усереднення до описаної вище задачi оптимального керування. Окремо розглядалися випадки скінченого часового інтервалу з загальним коерцитивним функціоналом якості та нескінченного часового інтервалу з квадратичним цільовим функціоналом. Також було розглянуто задачу оптимального керування на півосі з многозначною правою частиною типу Каратеодорі.

У третьому розділі дисертації досліджується питання про існування наближеного розв’язку задачі оптимального керування нелінійною за керуванням системою диференціальних включень з швидкоосцилюючими параметрами. Також було розглянуто зв'язок задачі оптимального керування з усередненими коефіцієнтами та вихідної збуреної системи у випадку скінченого та нескінченого часового проміжку.

У дисертаційній роботі отримано такі нові наукові результати:

--- досліджено застосування методу усереднення для задач оптимального керування диференціальними включеннями;

--- для задачі оптимального керування, що є лінійною за керуванням, у випадку ліпшицевої багатозначної правої частини не більш, ніж лінійного росту зі швидкоколивними коефіцієнтами, доведена збіжність критеріїв якості, оптимальних керувань та розв'язків до відповідних значень задачі оптимального керування з усередненими параметрами як у випадку скінченого часового проміжку , так і на півосі;

--- для задачі оптимального керування, що є лінійною за керуванням, у випадку напівнеперервної зверху обмеженої багатозначної правої частини зі швидкоколивними коефіцієнтами доведена збіжність критеріїв якості, оптимальних керувань та розв'язків до відповідних значень задачі оптимального керування з усередненими параметрами на нескінченому часовому інтервалі;

--- для задачі оптимального керування розв'язками нелінійного за керуванням диференціального включення з ліпшицевою багатозначною правою частиною зі швидкоколивними коефіцієнтами, доведена збіжність критеріїв якості, оптимальних керувань та розв'язків до відповідних значень задачі оптимального керування з усередненими параметрами як у випадку скінченого часового проміжку , так і на півосі.

Дисертаційна робота має теоретичний характер. Отримані в роботі результати мають важливе значення для якісної теорії диференціальних рівнянь з багатозначною правою частиною, теорії оптимального керування розв'язками диференціальних включень, та можуть бути використані для наближеного знаходження розв'язків задач оптимального керування диференціальними рівняннями та включеннями зі швидкоосцилюючими змінними.