Псевдодиференцiальнi рiвняння з виродженням для радiальних функцiй 𝑝–адичного аргументу

Сердюк М. В. Псевдодиференцiальнi рiвняння з виродженням для радiальних функцiй 𝑝–адичного аргументу : дис. ... доктора фiлософiї : 111 - математика. Київ, 2025. 117 с.

Сердюк М. В. Псевдодиференцiальнi рiвняння з виродженням для радiальних функцiй 𝑝–адичного аргументу. — Квалiфiкацiйна наукова праця на правах рукопису.
Дисертацiя на здобуття наукового ступеня доктора фiлософiї за спецiальнiстю 111 Математика. — Київський нацiональний унiверситет iменi Тараса Шевченка, Мiнiстерство освiти i науки України, Київ, 2025.
Дисертацiйна робота присвячена дослiдженню питань про iснування та єдинiсть, а також певнi властивостi розв’язкiв псевдодиферецiальних рiвнянь з оператором дробового диференцiювання на неархiмедовому полi 𝑝–адичних чисел, якi можуть розумiтися як аналог звичайних диференцiальних рiвнянь, у тому числi зi слабким та регулярним виродже- нням. Крiм того, дослiджується бiльш загальний тип псевдодиференцiального рiвняння з 𝑝–адичними часовою та просторовою змiнними.
Дисертацiя складається з анотацiй українською та англiйською мовами, вступу, чотирьох роздiлiв основної частини, висновкiв, списку використаних джерел та додатку.
У вступi обґрунтовано актуальнiсть теми, вказано зв’язок дисертацiйної роботи з науковими програмами, планами, темами, зазначено мету i завдання, об’єкт, предмет та методи дослiдження, наведено наукову новизну та практичне значення отриманих результатiв, охарактеризовано особистий внесок здобувача, наведено список конференцiй, на яких робота пройшла апробацiю, та короткий змiст роботи.
У першому роздiлi дисертацiйної роботи вводяться необхiднi поняття, наведено огляд лiтератури за тематикою роботи та результатiв, отриманих iншими авторами.
У другому роздiлi дисертацiї дослiджується задача Кошi для псевдодиференцiального рiвняння зi слабким виродженням на радiальних функцiях 𝑝–адичного аргументу. Розглянуто iнтегральне рiвняння, яке вiдповiдає задачi Кошi, та дослiджено питання iснування та єдиностi його локальних м’яких розв’язкiв та зв’язку з розв’язками початкового диференцiального рiвняння.
У третьому роздiлi вивчається випадок регулярного виродження, тобто коли порядок виродження при похiднiй збiгається з порядком диференцiювання. Для таких рiвнянь отримано умови збiжностi формальних розв’язкiв у виглядi степеневого ряду.
У четвертому роздiлi дисертацiйного дослiдження вивчається новий клас неархiмедових рiвнянь, який з одного боку є узагальненням рiвнянь хвильового типу з 𝑝–адичними часовою та просторовою змiнними, а з iншого боку має деякi властивостi, характернi для параболiчних рiвнянь з дiйсним часом та 𝑝–адичною просторовою змiнною. Доведено iснування та єдинiсть розв’язкiв вiдповiдної задачi Кошi. Дослiджено властивостi розв’язкiв, такi як скiнченна область залежностi та оцiнка на фундаментальний розв’язок задачi Кошi.
У дисертацiйнiй роботi отримано такi новi науковi результати:
– отримано достатнi умови iснування та єдиностi локального м’якого розв’язку задачi Кошi для нелiнiйного псевдодиференцiального рiвняння зi слабким виродженням на радiальних функцiях 𝑝–адичного аргументу;
– побудовано продовження локального м’якого розв’язку рiвняння зi слабким виродженням на весь простiр 𝑝–адичних чисел, та визначено достатнi умови на праву частину рiвняння, за яких це продовження буде коректним;
– доведено, що за певних умов побудований таким чином м’який розв’язок є розв’язком початкової задачi Кошi;
– знайдено достатнi умови iснування формального розв’язку лiнiйного псевдодиференцiального рiвняння з регулярним виродженням у виглядi степеневого ряду;

– доведено, що формальний розв’язок такого рiвняння за певних умов є локально абсолютно збiжним;
– дослiджено узагальнене псевдодиференцiальне рiвняння на радiальних за часом функцiях з 𝑝–адичною часовою та просторовою змiнними, у випадку, коли порядки похiдних за часом та за простором не спiвпадають;
– отримано необхiднi та достатнi умови iснування та єдиностi фундаментального розв’язку такого рiвняння та розв’язку вiдповiдної задачi Кошi у просторi Лiзоркiна;
– побудовано оцiнку даного фундаментального розв’язку у термiнах нор- ми вiд 𝑝–адичної змiнної. Такi оцiнки є аналогiчними до вiдповiдних вiдомих оцiнок для параболiчних рiвнянь з дiйсною часовою та 𝑝– адичною просторовою змiнними;
– дослiджено додатковi властивостi розв’язку вiдповiдної задачi Кошi, зокрема доведено скiнченнiсть областi залежностi розв’язку вiд початкової умови;
– побудовано рiвномiрну по часу оцiнку даного розв’язку у просторi 𝐿1 за просторовою змiнною в термiнах початкової умови.
Дисертацiйна робота має теоретичне значення. Отриманi в роботi результати можуть бути використанi в подальших дослiдженнях, пов’язаних з розв’язнiстю псевдодиференцiальних рiвнянь iз виродженням при головнiй похiднiй в просторах функцiй 𝑝-адичного аргументу, а також при побудовi теорiї регулярних i сингулярних розв’язкiв таких рiвнянь.