Задачi оптимального керування системами iнтегро-диференцiальних рiвнянь

Лахва Р. С. Задачi оптимального керування системами iнтегро-диференцiальних рiвнянь : дис. ... доктора фiлософiї : 111 Математика. Київ, 2026. 145 с.

Лахва Р. С. Задачi оптимального керування системами iнтегро-диференцiальних рiвнянь. — Квалiфiкацiйна наукова праця на правах рукопису.
Дисертацiя на здобуття наукового ступеня доктора фiлософiї за спецiаль- нiстю 111 — Математика. — Київський нацiональний унiверситет iменi Тараса Шевченка, Мiнiстерство освiти i науки України, Київ, 2026.
Дисертацiйна робота присвячена дослiдженню задач оптимального керування для деяких класiв iнтегро-диференцiальних систем типу Вольтерри. Такi системи природно виникають при математичному моделюваннi широкого ко- ла процесiв, де поточний стан залежить вiд iнтегрального впливу попереднiх моментiв часу. Моделi цього типу застосовують у бiологiї, економiцi, термодинамiцi, хiмiчнiй кiнетицi, флюїднiй динамiцi та iнших галузях. Актуальнiсть теми зумовлена необхiднiстю розвитку методiв оптимального керування для iнтегро- диференцiальних систем, якi розширюють класичнi пiдходи теорiї керування на бiльш загальнi еволюцiйнi моделi.
Розвиток методiв оптимального керування для iнтегро-диференцiальних систем має важливе теоретичне та прикладне значення. У теоретичному аспектi це пов’язано з необхiднiстю узагальнення класичних принципiв оптимальностi, зокрема принципу максимуму Понтрягiна та методу динамiчного програмування Беллмана, на ширшi класи систем з iнтегральними залежностями. У прикладному аспектi це пов’язано з потребою розробки ефективних алгоритмiв керування складними динамiчними об’єктами, що описуються рiвняннями Вольтерри. Важливим напрямом сучасних дослiджень є встановлення умов iснування оптимальних керувань i розроблення методiв аналiзу збiжностi оптимальних розв’язкiв. Застосування методу усереднення у задачах оптимального керування дозволяє замiнити вихiдну задачу простiшою усередненою моделлю, що полегшує аналiтичне та чисельне дослiдження. Попри значний прогрес у цьому напрямi, питання iснування оптимального керування для iнтегро-диференцiальних систем типу Вольтерри, а також обґрунтування збiжностi оптимальних керувань i траєкторiй при застосуваннi методу усереднення залишаються вiдкритими й потребують подальших дослiджень.
У дисертацiйнiй роботi отримано новi результати, що стосуються iснування оптимального керування для iнтегро-диференцiальних систем типу Вольтерри. Зокрема, вперше встановлено достатнi умови iснування оптимального керування для iнтегро-диференцiальних систем у термiнах правих частин рiвнянь та критерiю якостi на скiнченному iнтервалi. Такий пiдхiд дозволив узагальнити вiдомi результати для звичайних диференцiальних систем та поширити їх на випадок iнтегро-диференцiальних рiвнянь. Доведено теорему iснування розв’язку задачi Кошi для iнтегро-диференцiальних систем, аналогiчну теоремi Каратеодорi для звичайних диференцiальних рiвнянь. Встановлено узгодженiсть мiж задачами оптимального керування на скiнченному та нескiнченному iнтервалах, доведено слабку збiжнiсть оптимальних керувань i точкову збiжнiсть вiдповiдних оптимальних траєкторiй, що дає змогу обґрунтувати граничний перехiд вiд задач iз скiнченним до нескiнченного горизонту керування.
Окрему увагу придiлено застосуванню методу усереднення до задач оптимального керування iнтегро-диференцiальними системами у лiнiйному та нелiнiйному випадках вiдносно керування. У роботi обґрунтовано збiжнiсть розв’язкiв вихiдної задачi до розв’язкiв вiдповiдної усередненої системи, показано, що оптимальне керування усередненої задачi є асимптотично оптимальним для точної системи. Крiм того, встановлено зв’язок мiж точною задачею оптимального керування на пiвосi та вiдповiдною усередненою задачею на скiнченному iнтервалi, що дозволило обґрунтувати асимптотичну близькiсть оптимальних розв’язкiв при прямуваннi довжини iнтервалу до нескiнченностi й поглибити розумiння асимптотичних властивостей систем з малими параметрами.
Отриманi результати можуть бути використанi для аналiзу, моделювання та оптимiзацiї процесiв, що описуються iнтегро-диференцiальними рiвняннями типу Вольтерри, а також для розроблення ефективних методiв дослiдження систем оптимального керування з iнтегральними залежностями. Данi дослiдження поглиблюють теорiю оптимального керування для iнтегро-диференцiальних систем i можуть бути використанi при моделюваннi, аналiзi керованостi та стабiлiзацiї еволюцiйних процесiв у природничих i технiчних науках.
Ключовi слова: Iнтегро-диференцiальнi рiвняння, оптимальне керування, оптимальна траєкторiя, критерiй якостi, абсолютна неперервнiсть, метод усереднення, диференцiальнi рiвняння, задача Кошi, малий параметр, слабка збiжнiсть, швидкоосцилюючi параметри.