Асимптотична поведінка розв’язків стохастичних функціонально-диференціальних рівнянь

Петрина Г. О. Асимптотична поведінка розв’язків стохастичних функціонально-диференціальних рівнянь : дис. … доктора філософії : 111 Математика / Петрина Григорій Олексійович ; наук. кер. О. М. Станжицький. Київ, 2025. 148 с.

Сучасний розвиток прикладної математики та теорії ймовірностей стимулює поглиблений аналіз динамічних систем, у яких майбутня еволюція залежить від попередніх станів. Процеси, що характеризуються затримками або «пам’яттю», знаходять широке застосування в біології, фізиці, техніці та економіці. Дисертаційне дослідження зосереджене на вивченні асимптотичної поведінки розв’язків стохастичних функціонально-диференціальних рівнянь із запізненням та розробці практичних методів апроксимації таких систем моделями без запізнення.
У роботі розглядаються як скінченновимірні, так і нескінченновимірні моделі, що враховують випадкові збурення та часові затримки. Особливу увагу приділено розробці підходів, які дозволяють співставити поведінку систем із запізненням з відповідними моделями без затримок, що суттєво спрощує аналіз довгострокової динаміки процесів, де вплив попередніх станів є критичним. Завдяки цьому підходу вдалося не лише описати, але й передбачити стабільність і зміни в системах, що розглядаються.
Запропоновані методики апроксимації дозволяють редукувати складні нескінченновимірні об’єкти до скінченновимірних моделей, зберігаючи при цьому основні динамічні характеристики вихідних систем. Розроблені схеми охоплюють як випадки класичних точкових затримок, так і інтегральних запізнень, а також розглядаються ситуації, коли системи керуються необмеженими лінійними операторами. Для кожного з таких випадків встановлено умови, за яких розв’язки апроксимованих систем збігаються до розв’язків вихідних задач як у середньому квадратичному сенсі, так і з імовірністю 1.
Аналіз сучасної літератури свідчить, що більшість попередніх досліджень асимптотичної еквівалентності та апроксимації зосереджувалось на детермінованих системах або на лінійних моделях, де питання впливу стохастичних збурень залишалося менш розглянутим. Представлені підходи розширюють ці результати, адже враховують як нелінійні ефекти, так і випадкові збурення, що відкриває нові можливості для застосування методів аналізу затримок у більш складних моделях. Особливо актуальним є питання чисельного моделювання, оскільки запропоновані апроксимаційні схеми сприяють розробці ефективних алгоритмів для прогнозування поведінки динамічних систем у режимах реального часу.
Важливим аспектом дослідження є комплексний підхід до аналізу як теоретичних, так і практичних проблем. На теоретичному рівні розглядаються питання існування та єдиності розв’язків, а також умови асимптотичної еквівалентності між системами із запізненням і їх апроксимуючими аналогами. Приведені приклади демонструють, як ці теоретичні результати можуть бути використані для розробки нових чисельних методів, що дозволяють підвищити точність і швидкість обчислень у складних моделях.
Окрім цього, проведено порівняльний аналіз різних підходів до моделювання процесів з затримками, що дозволяє визначити переваги застосування запропонованих методик у порівнянні з традиційними методами. Так, методи апроксимації, засновані на редукції нескінченновимірного простору до скінченновимірного, забезпечують не лише точність, а й зменшують обчислювальні витрати, що є надзвичайно важливим для застосування в реальних прикладних задачах.
Дослідження також розглядає вплив параметрів системи на її асимптотичну поведінку та визначає чутливість моделей до випадкових збурень. Отримані результати свідчать про те, що правильно підібрані апроксимаційні схеми можуть забезпечити високий рівень збіжності розв’язків, що відкриває перспективи для їх використання у розробці програмних засобів для моделювання складних динамічних процесів.
Крім того, у дослідженні ретельно проаналізовано вплив параметричних варіацій на точність апроксимації. Дослідження показало, що навіть незначні зміни вихідних умов чи характеристик моделі не порушують збіжність апроксимованих розв’язків до вихідних, що підтверджує стійкість запропонованих підходів. Це відкриває перспективи для їх подальшого використання в аналізі та моделюванні динамічних процесів у різних галузях науки і техніки.
Подальші напрямки досліджень можуть включати розширення застосування розроблених методик до багатовимірних нелінійних систем, що враховують як часові, так і просторові затримки. Також перспективним є вивчення впливу різних типів стохастичних збурень на стабільність моделей, що дозволить більш глибоко дослідити механізми виникнення автоколивань та інших нелінійних явищ.
Отже, проведене дослідження представляє всебічний аналіз асимптотичної поведінки стохастичних функціонально-диференціальних рівнянь із запізненням, охоплюючи як глибокі теоретичні аспекти, так і практичні питання апроксимації та чисельного моделювання. Запропоновані методики сприяють точному прогнозуванню довгострокової динаміки складних систем, де врахування затримок та випадкових впливів є критично важливим. Розроблені підходи створюють основу для подальших досліджень у сфері аналізу стохастичних процесів і можуть бути адаптовані для вирішення широкого спектру практичних задач у сучасній науці та техніці, розумінню впливу затримок на стабільність і динаміку стохастичних процесів.