Точкове керування лінійними гіперболічними інтегро-диференціальними системами

Анікушин, А., Гранішак, Х. (2024). Point control of linear hyperbolic integro-differential systems. Bulletin of Taras Shevchenko National University of Kyiv. Physics and Mathematics, 79(2), 20–28. https://doi.org/10.17721/1812-5409.2024/2.4

В с т у п. Роботу присвячено вивченню оптимального керування розподіленими системами, що описуються лінійними гіперболічними інтегро-диференціальними рівняннями з частинними похідними та інтегральними складовими типу Вольтерра. Інтегро-диференціальні рівняння такого типу давно стали стандартним об'єктом вивчення прикладної математики і часто виникають при дослідженні процесів у в'язкопружних середовищах (аморфні полімери, напівкристалічні полімери, біополімери, метали при дуже високих температурах, бітумні матеріали тощо). Основна мета полягає у доведенні існування оптимального керування розподіленими системами, що описуються відповідними моделями. 
М е т о д и. У роботі використовуються методи функціонального аналізу та теорії узагальнених функцій. Дослідження проводиться у спеціально визначених гільбертових просторах. Оператор керування системою у правій частині містить узгальнені «дельта»-функції Дірака. Основний результат щодо існування оптимального керування встановлено грунтуючись на теорії апріорних оцінок у негативних нормах, що було започатковано у роботах Ю.М. Березанського, розвинуто В.П.Діденком, С.І. Ляшком та його колегами. 
Р е з у л ь т а т и. У роботі наведено поставновку задачі оптимального керування. Керування системою відбуваєтсья за допомогою оператору керування, що входить у праву частину початково-крайової задачі. Оператор керування діє у просторах узагальнених функцій, що моделює точкове керування системою. Для дослідження поставленої задачі запропоновано гільбертові простори у яких діє оператор задачі та простір допустимих керувань. Наведено апріорні оцінки в негативних нормах, означення узагальнених розв'язків, властивості щодо коректності постановки початково-крайової задачі, загальну теорему про існування оптимального керування. Доведено властивість про коректність визначення оператору керування та про його слабку неперервність. На основі отриманих тверджень сформульвоно теорема про існування оптимального керування для поставленої задачі. Зокрема накладаються обмеження на допустиму множину керувань та критерій якості, що мінімізується. 
В и с н о в к и. Для розглянутої задачі оптимального керування встановлено теорему про достатні умови існування оптимального керування відповідною системою. Зокрема, доведено корекність визначення наведеного оператору керування, що відповідає точковому керуванню та його слабку неперевність з простору керувань у простір правих частин.