Дослiдження узгоджених схем зайнятостi у випадковому середовищi

Браганець О. А. Дослiдження узгоджених схем зайнятостi у випадковому середовищi : дис. ... доктора фiлософiї : 113 Прикладна математика. Київ, 2026. 125 с.

Браганець О. А. Дослiдження узгоджених схем зайнятостi у випадковому середовищi . — Квалiфiкацiйна наукова праця на правах рукопису.
Дисертацiя на здобуття наукового ступеня доктора фiлософiї за спецiаль-нiстю 113 — Прикладна математика. – Київський нацiональний унiверситет iменi Тараса Шевченка Мiнiстерства освiти i науки України, Київ, 2026.
Дисертацiю присвячено аналiзу узгоджених схем зайнятостi у випадко-вому середовищi, а також розвитку теорiї iтерованих збурених випадкових блукань.
Ми дослiджуємо послiдовнiсть узгоджених схем «кулi-в-комiрках» у випадковому середовищi. Комiрки утворюють iєрархiчну вкладену структуру, причому у кожному поколiннi мiститься нескiнченна кiлькiсть комiрок, а ймовiрностi потраплення в них є випадковими i формуються шляхом послiдовної фрагментацiї одиничної маси. Гнедiн та Iксанов (2020) встановили багатовимiрну функцiональну центральну граничну теорему з центруванням для сукупних кiлькостей зайнятих комiрок у початкових поколiннях при зростаннi кiлькостi куль. Ми доводимо аналогiчний результат, у якому центрування не потрiбне, а граничнi процеси не є гаусiвськими. Як застосування, розглядається послiдовнiсть схем зайнятостi, породжена процедурою ламання палицi.
Далi ми розглядаємо промiжнi поколiння послiдовностi узгоджених схем зайнятостi у випадковому середовищi, породженому процедурою ламання палицi. А саме, ймовiрностi потраплення у комiрки першого поколiння задаються формулою Pk = W1W2 · . . . · Wk−1(1 − Wk) для k ∈ N, де W1, W2, . . . — незалежнi копiї випадкової величини W , що набуває значень у (0, 1). Нескiнченна схема «кулівкомiрках» у першому поколiннi вiдома як сито Бернуллi. Ми припускаємо, що математичне сподiвання | log W | є нескiнченним, а хвiст розподiлу випадкової величини | log W | правильно змiнюється на нескiнченностi. Позначимо через Kn(j) кiлькiсть зайнятих комiрок у поколiннi j, якщо кинуто n куль. Називатимемо поколiння j промiжними, якщо j = jn → ∞ та jn = o((log n)a) при n → ∞ для вiдповiдного a > 0. Ми доводимо, що для деяких промiжних поколiнь j скiнченнови-мiрнi розподiли процесу (Kn(⌊jnu⌋))u>0 пiсля належної нормалiзацiї слабко збiгаються при n → ∞ до скiнченновимiрних розподiлiв потраекторного iнтеграла Лебега–Стiльтьєса, iнтеграндом якого є експоненцiйна функцiя, а iнтегратором — обернений стiйкий субординатор. Ця частина дисерта-цiї продовжує напрям дослiджень, започаткований у статтях Buraczewski, Dovgay та Iksanov (2020) i Iksanov, Marynych та Samoilenko (2022), де випадкова величина | log W | мала скiнченний другий момент, а також у статтi Iksanov, Marynych та Rashytov (2022), де величина | log W | мала скiнченне математичне сподiвання, але нескiнченний другий момент.
Невiд’ємною складовою дослiдження послiдовностей узгоджених схем зайнятостi у випадковому середовищi, породженому процесом ламання палицi, є теорiя iтерованих збурених випадкових блукань. Нехай (ξk, ηk)k≥1 — незалежнi однаково розподiленi випадковi вектори з довiльно залежними додатними компонентами та Tk := ξ1 + . . . + ξk−1 + ηk для k ∈ N. Назива-тимемо випадкову послiдовнiсть (Tk)k≥1 (глобально) збуреним випадковим блуканням. Розглянемо загальний гiллястий процес, породжений послiдов-нiстю (Tk)k≥1, i позначимо через Yj(t) кiлькiсть особин j-го поколiння з моментами народження ≤ t. Припускаючи, що Var ξ1 ∈ (0, ∞), та дозволяючи розподiлу η1 бути довiльним, ми доводимо закон повторного логарифма для Yj(t). Зокрема, отримано закон повторного логарифма для лiчильного процесу випадкової послiдовностi (Tk)k≥1. Останнiй результат був ранiше встановлений у статтi Iksanov, Jedidi та Bouzeffour (2017) за додаткової умови iснування скiнченного моменту Eηa < ∞ для деякого a > 0. У цiй дисертацiї показано, що зазначене додаткове припущення не потрiбне.
Ключовi слова: випадкове середовище, закон повторного логарифма, загальний гiллястий процес, збуренi випадковi блукання, iтерованi збуренi випадковi блукання, нескiнченна схема зайнятостi, неперервнiсть за Гьольдером, процес дробового ефекту, процедура ламання палицi, сито Бернуллi, слабка збiжнiсть скiнченновимiрних розподiлiв, слабка збiжнiсть у просторi Скорохода, теорiя вiдновлення, узгодженi схеми зайнятостi у випадковому середовищi, функцiональна гранична теорема.