Суперсингулярнi кривi Едвардса i метод пiдрахунку порядку кривої Едвардса над скiнченним полем

Skuratovskii, R. (2020). Supersingular Edwards Curves and Edwards Curve Points Counting Method over Finite Field. Journal of Numerical and Applied Mathematics, (1), 68–88. https://doi.org/10.17721/2706-9699.2020.1.06

Ми розглядаємо алгебраїчнi аффiннi i проективнi кривi Едвардса [2, 8] над скiнченним полем $F_{p^n}$. Складнiсть проблеми дискретного логарифму в групi точок елiптичної кривої (ECDLP) [4] залежить вiд порядку цiєї кривої [10]. Дослiджуємо алгебраїчнi кривi Едвардса над скiнченним полем, якi є одним з найбiльш преспективних носiїв множин точок, якi використовуються для швидких групових операцiй [1]. Будуємо новий метод пiдрахунку порядку кривої Едвардса над скiнченним полем. Слiд зазначити, що цей метод може бути застосований до визначення порядку елiптичних кривих через бiрацiональнi еквiвалентностi мiж елiптичними кривими i кривими Едвардса. Ми не тiльки знаходимо набiр коефiцiєнтiв з вiдповiдними характеристиками поля, для яких цi кривi є суперсингулярними, ми також додатково знаходимо загальну формулу, згiдно з якою можна визначити, чи є крива $E_d [F_p]$ суперсингулярною над цим полем чи нi. Дослiджується ступiнь вкладення суперсингулярної кривої Едвардса над $F_{p^n}$ в скiнченне поле. Також знайдена характеристика поля, де цей ступiнь мiнiмальний. У статтi знайдено критерiй суперсингулярностi кривої Едвардса над $F_{p^n}$. Встановлено взаємно-однозначна вiдповiднiсть мiж суперсингулярними кривими Едвардса i суперсингулярними кривими Монтгомерi. Побудований бiрацiональних iзоморфiзм мiж кривою Монтгомерi та кривою Едвардса. Вказанi образи спецiальних точок кривої Едвардса на сферi Рiмана при бiрацiональному iзоморфiзмi.