Моделювання та аналіз порогових процесів з допомогою стохастичних рівнянь Іто та Іто-Скорохода
Тип публікації :
Дисертація
Дата випуску :
16 липня 2026 р.
Автор(и) :
Нечипорук, Сергій Анатолійович
Науковий(і) керівник(и)/редактор(и) :
Зiнько Петро Миколайович
Нікітін, Анатолій Володимирович
Мова основного тексту :
Ukrainian
eKNUTSHIR URL :
Цитування :
[APA 7] Нечипорук, С. А. (2026). Моделювання та аналіз порогових процесів з допомогою стохастичних рівнянь Іто та Іто-Скорохода [Дис. доктора філософії, Київський національний університет імені Тараса Шевченка]. eKNUTSHIR. https://ir.library.knu.ua/handle/15071834/34873
[ДСТУ] Нечипорук С. А. Моделювання та аналіз порогових процесів з допомогою стохастичних рівнянь Іто та Іто-Скорохода : дис. … доктора філософії : 113 Прикладна математика. Київ, 2026. 147 с.
Нечипорук С. А. Моделювання та аналіз порогових процесів з допомогою стохастичних рівнянь Іто та Іто-Скорохода. – Кваліфікаційна наукова праця на правах рукопису.
Дисертація на здобуття наукового ступеня доктора філософії з галузі знань 11 Математика та статистика за спеціальністю 113 Прикладна математика. – Національний університет «Острозька академія» – Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, 2026.
Метою даної дисертаційної роботи є побудова математичної та компʼютерної моделі для оцінювання двопорогових процесів на базі рівнянь Іто та Іто-Скорохода.
Актуальність дослідження визначається зростаючою потребою в математичному описі та статистичному аналізі стохастичних процесів із пороговою поведінкою, які широко використовуються для моделювання реальних систем у різних галузях науки і техніки.
Теоретичні та прикладні аспекти дослідження стохастичних процесів висвітлені у працях відомих учених, зокрема О. Г. Наконечного, Я. М. Чабанюка та А. В. Скорохода, результати яких використано як теоретичне підґрунтя даного дослідження.
В даній дисертаційній роботі було виконано побудову та аналіз математичної моделі стохастичних процесів на основі рівнянь Іто та Іто-Скорохода з двома порогами, а також виконано комп'ютерне моделювання для оцінювання параметрів таких процесів з метою розширити наявні на даний момент дослідження.
В основі запропонованої методики для опису та оцінювання параметрів двопорогових процесів покладено використання наближеної функції максимальної правдоподібності (AMLE), яка дала можливість використовувати чисельні методи для отримання оцінених значень. Такий підхід обрано, оскільки саме AMLE дає вищу обчислювальну стабільність, у порівнянні із іншими відомими підходами, серед яких можна відмітити байєсівські методи, алгоритм очікування максимізації (EM) [51] та інші. Основна відмінність AMLE від згаданих вище методів це те, що він не вимагає попередніх припущень щодо розподілу параметрів, а це спрощує розрахунки.
Запропоновані у роботі методи дають можливість аналізувати стохастичні процеси, які містять два пороги, та проводити оцінювання їх поведінки у трьох режимах. В роботі представлено дослідження моделі на основі рівнянь Іто та Іто-Скорохода, що дозволило додати стрибкову складову, наблизившись до відтворення більш реалістичної динаміки реальних процесів, які можуть містити різкі зміни.
Наукова новизна роботи полягає у розробці та дослідженні двопорогової моделі стохастичних процесів на основі рівнянь Іто та Іто–Скорохода з трьома режимами динаміки. Запропоновано метод оцінювання параметрів моделі на основі наближеного методу максимальної правдоподібності та її узагальнення шляхом введення стрибкової компоненти. Доведено консистентність та асимптотичну нормальність отриманих оцінок параметрів і розроблено програмне забезпечення для моделювання та аналізу таких процесів.
Напрацьовані результати даної роботи не тільки розширюють наявні на даний момент наукові результати, а і дають змогу в подальшому використати напрацювання у практичній сфері, наприклад у фінансових, економічних або технічних системах де процеси можуть утворювати пороги і формувати різні режими поведінки.
Робота складається з теоретичного блоку (опис математичної моделі, встановлення тверджень для коректних оцінок параметрів моделі, процедур ітераційного оцінювання параметрів, перевірки збіжності) та програмного модуля, реалізованого мовою R. Програмна частина автоматизує розрахунки, візуалізує динаміку процесів і результати оцінювання у вигляді графічних поверхонь правдоподібності, що полегшує інтерпретацію знайдених рішень.
Сформована методика дає можливість аналізувати двопорогові процеси, рахувати оцінені значення параметрів дрейфу, дифузії та стрибкової компоненти, порогів а також отримувати візуальне представлення отриманих результатів. Таке рішення може бути використано як основа для побудови інструменту по оцінювання змін поведінки стохастичних процесів, що містять порогові значення.
Дисертація складається зі вступу, трьох розділів, присвячених повному викладу результатів дослідження дисертанта, висновків та списку використаних джерел.
У вступі обґрунтовано актуальність проблеми дослідження, визначено об’єкт, предмет, методологічні основи, мету та завдання дослідження, відзначено наукову новизну, практичну цінність дослідження, наведено дані щодо апробації отриманих результатів, а також описано структуру дисертації, виходячи з послідовності розв’язання поставлених завдань.
У першому розділі розв’язано задачу оцінювання параметрів порогових стохастичних процесів на основі рівняння Іто. За основу взято процес Орнштейна-Уленбека (ОУ), який описується стохастичним диференціальним рівнянням:
dX_t=θ(μ-X_t )dt+σdW_t.
Досліджено дифузійний процес типу ОУ із трьома режимами та двома порогами, який має вигляд:
dX_t={(β_10+β_11 X_t )I(X_t≤r_1 )+(β_20+β_21 X_t )I(〖r_2>X〗_t≥r_1 )+(β_30+β_31 X_t )I(X_t≥r_2 ) }dt+{σ_1 I(X_t≤r_1 )+σ_2 I(〖r_2>X〗_t≥r_1 )+σ_3 I(X_t>r_2 ) }dW_t.
Для вибірки X={X_0,X_1,…,X_q}, що спостерігається в моменти часу {t_0,t_1,…,t_q }, побудовано подвоєну від’ємну наближену логарифмічну функцію правдоподібності, яка використовується для оцінювання параметрів моделі.
На основі цієї функції виведено систему рівнянь для параметрів процесу:
β_10,β_11,β_20,β_21,β_30,β_31,σ_1^2,σ_2^2,σ_3^2.
Для чисельного розрахунку параметрів моделі в роботі запропоновано ітераційний алгоритм, який на кожному кроці оновлює значення параметрів і завершує розрахунок при досягненні умов збіжності. Здійснено аналіз збіжності ітераційного алгоритму при оцінці параметрів моделі.
Як результат, за допомогою представленого AMLE-підходу було проведено оцінювання різних наборів даних із пороговими значеннями зміни динаміки поведінки. Алгоритм правильно визначав пороги, що підтвердило його ефективність і точність для моделювання процесів типу Орнштейна-Уленбека.
В другому розділі було побудовано та проаналізовано двопорогову модель на основі рівнянь Іто-Скорохода. В рамках даної моделі в математичні розрахунки, а в подальшому і в сам алгоритм було додано стрибкову компоненту. Це дозволило проводити аналіз більш реалістичних процесів, які можуть містити різки зміни поведінки.
Рівняння Іто–Скорохода має вигляд:
dX_t=μ(X_t,t)dt+σ(X_t,t)dW_t+∫_U▒〖γ(X_t,t) ν┴~ (dt,du),X_0=0.〗
Двопороговий трирежимний процес типу Леві описується таким чином:
X_t={(β_10+β_11 X_t )I(X_t≤r_1 )+(β_20+β_21 X_t )I(〖r_1<X〗_t≤r_2 )+(β_30+β_31 X_t )I(X_t>r_2 ) }dt+{σ_1 I(X_t≤r)+σ_2 I(〖r_1<X〗_t≤r_2 )+σ_3 I(X_t>r_2 ) }dW_t+∫_U▒{γ_1 I(X_t≤r)+γ_2 I(〖r_1<X〗_t≤r_2 )+γ_3 I(X_t>r_2 ) } ν ̃(dt,du).
Для цієї моделі розроблено метод оцінювання параметрів на основі максимальної правдоподібності (AMLE):
β_10,β_11,β_20,β_21,β_30,β_31,σ_1^2,σ_2^2,σ_3^2,γ_1,γ_2,γ_3,
на основі вибірки X={X_(0,) X_(1,)…,X_q }, що спостерігається у моменти часу {t_0,t_1,…,t_q }.
Обґрунтовано коректність отриманих статистичних оцінок параметрів.
Запропоновано обчислювальний алгоритм для знаходження оцінок параметрів та проведено аналіз збіжності ітераційного процесу.
Тестування моделі на синтетично згенерованих даних підтвердило її ефективність. Алгоритм коректно визначав порогові значення r_1 і r_2, а включення стрибкової компоненти значно підвищило реалістичність опису динаміки процесу. Отримані результати показали, що модель адекватно відтворює зміни поведінки системи, що робить її перспективною для подальшого практичного застосування.
У третьому розділі описано розробку та результати тестування програмного забезпечення для оцінювання процесів типу Орштейна-Уленбека та Леві із двома порогами. Така система може застосовуватися у фінансовому аналізі для прогнозування змін ринку, в економічних моделях для виявлення режимів нестабільності, у технічних системах для контролю параметрів, що змінюються з різною інтенсивністю, а також у природничих процесах, де поведінка об’єкта залежить від критичних меж чи зовнішніх збурень.
Бекенд системи реалізовано мовою R, що забезпечує обчислення, статистичний аналіз та побудову графічних візуалізацій результатів. На етапі розробки використовувалося середовище RStudio, яке дало можливість не лише виконати обрахунки, а й представити результати роботи програмного коду у зручній візуальній формі.
В рамках даної роботи проведено тести, щодо оцінювання параметрів моделей на основі рівнянь Іто та Іто-Скорохода з використанням синтетично згенерованих даних. Набори даних представляли собою часові ряди. Результати показали, що алгоритм правильно оцінює порогові значення і може визначати зміну поведінки динаміки процесу. Подальший розвиток на матеріалах даного дослідження може включати доопрацювання клієнтської частини програмного забезпечення, оптимізацію ітераційного алгоритму та інше.
Останній розділ роботи це загальні висновки по проведеному дослідженню і отриманих результатах. Було проведено оцінку наукових та прикладних результатів після проведення тестування алгоритму на основі запропонованої математичної моделі.
Ключові слова: метод наближеної максимальної правдоподібності, двопороговий дифузійний процес, стохастичне диференціальне рівняння, математичне моделювання, комп’ютерне моделювання.
Дисертація на здобуття наукового ступеня доктора філософії з галузі знань 11 Математика та статистика за спеціальністю 113 Прикладна математика. – Національний університет «Острозька академія» – Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, 2026.
Метою даної дисертаційної роботи є побудова математичної та компʼютерної моделі для оцінювання двопорогових процесів на базі рівнянь Іто та Іто-Скорохода.
Актуальність дослідження визначається зростаючою потребою в математичному описі та статистичному аналізі стохастичних процесів із пороговою поведінкою, які широко використовуються для моделювання реальних систем у різних галузях науки і техніки.
Теоретичні та прикладні аспекти дослідження стохастичних процесів висвітлені у працях відомих учених, зокрема О. Г. Наконечного, Я. М. Чабанюка та А. В. Скорохода, результати яких використано як теоретичне підґрунтя даного дослідження.
В даній дисертаційній роботі було виконано побудову та аналіз математичної моделі стохастичних процесів на основі рівнянь Іто та Іто-Скорохода з двома порогами, а також виконано комп'ютерне моделювання для оцінювання параметрів таких процесів з метою розширити наявні на даний момент дослідження.
В основі запропонованої методики для опису та оцінювання параметрів двопорогових процесів покладено використання наближеної функції максимальної правдоподібності (AMLE), яка дала можливість використовувати чисельні методи для отримання оцінених значень. Такий підхід обрано, оскільки саме AMLE дає вищу обчислювальну стабільність, у порівнянні із іншими відомими підходами, серед яких можна відмітити байєсівські методи, алгоритм очікування максимізації (EM) [51] та інші. Основна відмінність AMLE від згаданих вище методів це те, що він не вимагає попередніх припущень щодо розподілу параметрів, а це спрощує розрахунки.
Запропоновані у роботі методи дають можливість аналізувати стохастичні процеси, які містять два пороги, та проводити оцінювання їх поведінки у трьох режимах. В роботі представлено дослідження моделі на основі рівнянь Іто та Іто-Скорохода, що дозволило додати стрибкову складову, наблизившись до відтворення більш реалістичної динаміки реальних процесів, які можуть містити різкі зміни.
Наукова новизна роботи полягає у розробці та дослідженні двопорогової моделі стохастичних процесів на основі рівнянь Іто та Іто–Скорохода з трьома режимами динаміки. Запропоновано метод оцінювання параметрів моделі на основі наближеного методу максимальної правдоподібності та її узагальнення шляхом введення стрибкової компоненти. Доведено консистентність та асимптотичну нормальність отриманих оцінок параметрів і розроблено програмне забезпечення для моделювання та аналізу таких процесів.
Напрацьовані результати даної роботи не тільки розширюють наявні на даний момент наукові результати, а і дають змогу в подальшому використати напрацювання у практичній сфері, наприклад у фінансових, економічних або технічних системах де процеси можуть утворювати пороги і формувати різні режими поведінки.
Робота складається з теоретичного блоку (опис математичної моделі, встановлення тверджень для коректних оцінок параметрів моделі, процедур ітераційного оцінювання параметрів, перевірки збіжності) та програмного модуля, реалізованого мовою R. Програмна частина автоматизує розрахунки, візуалізує динаміку процесів і результати оцінювання у вигляді графічних поверхонь правдоподібності, що полегшує інтерпретацію знайдених рішень.
Сформована методика дає можливість аналізувати двопорогові процеси, рахувати оцінені значення параметрів дрейфу, дифузії та стрибкової компоненти, порогів а також отримувати візуальне представлення отриманих результатів. Таке рішення може бути використано як основа для побудови інструменту по оцінювання змін поведінки стохастичних процесів, що містять порогові значення.
Дисертація складається зі вступу, трьох розділів, присвячених повному викладу результатів дослідження дисертанта, висновків та списку використаних джерел.
У вступі обґрунтовано актуальність проблеми дослідження, визначено об’єкт, предмет, методологічні основи, мету та завдання дослідження, відзначено наукову новизну, практичну цінність дослідження, наведено дані щодо апробації отриманих результатів, а також описано структуру дисертації, виходячи з послідовності розв’язання поставлених завдань.
У першому розділі розв’язано задачу оцінювання параметрів порогових стохастичних процесів на основі рівняння Іто. За основу взято процес Орнштейна-Уленбека (ОУ), який описується стохастичним диференціальним рівнянням:
dX_t=θ(μ-X_t )dt+σdW_t.
Досліджено дифузійний процес типу ОУ із трьома режимами та двома порогами, який має вигляд:
dX_t={(β_10+β_11 X_t )I(X_t≤r_1 )+(β_20+β_21 X_t )I(〖r_2>X〗_t≥r_1 )+(β_30+β_31 X_t )I(X_t≥r_2 ) }dt+{σ_1 I(X_t≤r_1 )+σ_2 I(〖r_2>X〗_t≥r_1 )+σ_3 I(X_t>r_2 ) }dW_t.
Для вибірки X={X_0,X_1,…,X_q}, що спостерігається в моменти часу {t_0,t_1,…,t_q }, побудовано подвоєну від’ємну наближену логарифмічну функцію правдоподібності, яка використовується для оцінювання параметрів моделі.
На основі цієї функції виведено систему рівнянь для параметрів процесу:
β_10,β_11,β_20,β_21,β_30,β_31,σ_1^2,σ_2^2,σ_3^2.
Для чисельного розрахунку параметрів моделі в роботі запропоновано ітераційний алгоритм, який на кожному кроці оновлює значення параметрів і завершує розрахунок при досягненні умов збіжності. Здійснено аналіз збіжності ітераційного алгоритму при оцінці параметрів моделі.
Як результат, за допомогою представленого AMLE-підходу було проведено оцінювання різних наборів даних із пороговими значеннями зміни динаміки поведінки. Алгоритм правильно визначав пороги, що підтвердило його ефективність і точність для моделювання процесів типу Орнштейна-Уленбека.
В другому розділі було побудовано та проаналізовано двопорогову модель на основі рівнянь Іто-Скорохода. В рамках даної моделі в математичні розрахунки, а в подальшому і в сам алгоритм було додано стрибкову компоненту. Це дозволило проводити аналіз більш реалістичних процесів, які можуть містити різки зміни поведінки.
Рівняння Іто–Скорохода має вигляд:
dX_t=μ(X_t,t)dt+σ(X_t,t)dW_t+∫_U▒〖γ(X_t,t) ν┴~ (dt,du),X_0=0.〗
Двопороговий трирежимний процес типу Леві описується таким чином:
X_t={(β_10+β_11 X_t )I(X_t≤r_1 )+(β_20+β_21 X_t )I(〖r_1<X〗_t≤r_2 )+(β_30+β_31 X_t )I(X_t>r_2 ) }dt+{σ_1 I(X_t≤r)+σ_2 I(〖r_1<X〗_t≤r_2 )+σ_3 I(X_t>r_2 ) }dW_t+∫_U▒{γ_1 I(X_t≤r)+γ_2 I(〖r_1<X〗_t≤r_2 )+γ_3 I(X_t>r_2 ) } ν ̃(dt,du).
Для цієї моделі розроблено метод оцінювання параметрів на основі максимальної правдоподібності (AMLE):
β_10,β_11,β_20,β_21,β_30,β_31,σ_1^2,σ_2^2,σ_3^2,γ_1,γ_2,γ_3,
на основі вибірки X={X_(0,) X_(1,)…,X_q }, що спостерігається у моменти часу {t_0,t_1,…,t_q }.
Обґрунтовано коректність отриманих статистичних оцінок параметрів.
Запропоновано обчислювальний алгоритм для знаходження оцінок параметрів та проведено аналіз збіжності ітераційного процесу.
Тестування моделі на синтетично згенерованих даних підтвердило її ефективність. Алгоритм коректно визначав порогові значення r_1 і r_2, а включення стрибкової компоненти значно підвищило реалістичність опису динаміки процесу. Отримані результати показали, що модель адекватно відтворює зміни поведінки системи, що робить її перспективною для подальшого практичного застосування.
У третьому розділі описано розробку та результати тестування програмного забезпечення для оцінювання процесів типу Орштейна-Уленбека та Леві із двома порогами. Така система може застосовуватися у фінансовому аналізі для прогнозування змін ринку, в економічних моделях для виявлення режимів нестабільності, у технічних системах для контролю параметрів, що змінюються з різною інтенсивністю, а також у природничих процесах, де поведінка об’єкта залежить від критичних меж чи зовнішніх збурень.
Бекенд системи реалізовано мовою R, що забезпечує обчислення, статистичний аналіз та побудову графічних візуалізацій результатів. На етапі розробки використовувалося середовище RStudio, яке дало можливість не лише виконати обрахунки, а й представити результати роботи програмного коду у зручній візуальній формі.
В рамках даної роботи проведено тести, щодо оцінювання параметрів моделей на основі рівнянь Іто та Іто-Скорохода з використанням синтетично згенерованих даних. Набори даних представляли собою часові ряди. Результати показали, що алгоритм правильно оцінює порогові значення і може визначати зміну поведінки динаміки процесу. Подальший розвиток на матеріалах даного дослідження може включати доопрацювання клієнтської частини програмного забезпечення, оптимізацію ітераційного алгоритму та інше.
Останній розділ роботи це загальні висновки по проведеному дослідженню і отриманих результатах. Було проведено оцінку наукових та прикладних результатів після проведення тестування алгоритму на основі запропонованої математичної моделі.
Ключові слова: метод наближеної максимальної правдоподібності, двопороговий дифузійний процес, стохастичне диференціальне рівняння, математичне моделювання, комп’ютерне моделювання.
Ключові слова :
метод наближеної максимальної правдоподібності двопороговий дифузійний процес стохастичне диференціальне рівняння математичне моделювання комп’ютерне моделювання. approximate maximum likelihood method two-threshold diffusion process stochastic differential equation mathematical modelling computer simulation.
Галузі знань та спеціальності :
E7 Математика
Файл(и) :![Ескіз]()
Вантажиться...
Формат :
Adobe PDF
Розмір :
4.65 MB
Контрольна сума :
(MD5):7636c82f93127428d2b21ae87139d764
Якщо не вказано інше, ця робота розповсюджується на умовах ліцензії Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivatives 4.0 International