За останні 30 років побудована практично вичерпна теорія формозберігаючого наближення неперіодичних функцій в роботах Бітсона, Ву, Венса, Гілевича, Гонски, ДеВора, Левіатана, Лоренца, Мхаскара, Ньюмана, Профіта, Роулера, Шведова, Ху, Целлера, Цу та інших математиків із провідних університетів Америки, Європи, Океанії, Ізраїля та Китаю. Потужний внесок в теорію зробили учні керівника проекту: Бондаренко, Вязовська, Дзюбенко, Копотун, Примак, Радченко та учасниця проекту І.Л.Петрова. Маючи значний об’ єм методів формозберігаючого наближення, вдалось дослідити кусково - монотонне наближення періодичних функцій. Наша мета – дослідити кусково - опукле наближення та кусково – q-опукле наближення періодичних функцій. Актуальність цієї задачі була підкреслена професорами Конягіним (нині академік РАН) та Демидовичем. В області наближення без обмежень планується розробити і обґрунтувати новий підхід до так званих інтерполяційних поточкових оцінок наближення алгебраїчними поліномами. А саме, на відміну від результатів про існування інтерполяційних алгебраїчних поліномів, що забезпечують відповідні порядки наближення планується показати, що всякий інтерполяційний поліном забезпечує відповідну оцінку. Новою ідеєю є також застосування опублікованої нами у 2019 році оцінки розділеної різниці Лагранжа – Ерміта, у довільному фіксованому наборі вузлів інтерполяції. Застосування відомої конструкції керівника проєкта побудови функції із заданим модулем гладкості дозволить довести точність вказаних вище оцінок. У 2015 році Копотун, Левіатан та керівник проекту побудували нову класифікацію інтегровних функцій, яка поширена на випадок ваг Якобі. Зрозуміло що ця нова конструкція потребує подальшого вивчення, зокрема доведення властивостей характеристик гладкості при найзагальніших умовах на вагу Якобі. Разом з цією новою класифікацією існує класифікація Потапова, де експертом є учасниця проекту Моторна. До цього часу ці класифікації не порівнювались. Новим дослідженням буде також порівняння відповідних вагових характеристик гладкості інтегровних функцій, з вагою Якобі. Одним із напрямків досліджень у нашому проєкті є властивість оберненого найкращого наближення (inverse best approximation property, IBAP) систем замкнених підпросторів гільбертового простору. Слідуючи Combettes, Reyes, (JAT, 2010), скажемо, що система замкнених підпросторів гільбертового простору Н володіє IBAP якщо для довільного набору елементів, по одному з кожного підпростора, існує елемент простору Н, ортогональні проекції якого на ці підпростори співпадають з заданими елементами. Combettes і Reyes навели різні необхідні і достатні умови для того, щоб система підпросторів володіла IBAP, розглянули питання про знаходження розв’язку задачі оберненого найкращого наближення з найменшою нормою, а також застосували отримані результати до систем інтегральних рівнянь, “усічених” моментних задач, гармонічного аналізу, вейвлет-фреймів і відновлення сигналів. Раніше ми одержали різні необхідні і достатні умови (відмінні від умов Combettes-а і Reyes-а) для того, щоб система підпросторів володіла IBAP. Зокрема, доведено, що система замкнених підпросторів гільбертового простору H володіє IBAP тоді і тільки тоді, коли ці підпростори лінійно незалежні і їхня сума замкнена в H. Ми плануємо подальше дослідження IBAP --- отримати різні формули (відмінні від формул Combettes-а і Reyes-а) для розв’язку задачі оберненого найкращого наближення з найменшою нормою, дослідити зв’язок IBAP і сімей Рісса, довести IBAP для систем кореневих підпросторів неперервних лінійних операторів, отримати нові результати про стійкість IBAP, дослідити, за яких умов система маргінальних підпросторів, породжених дискретними випадковими величинами із певного класу, володіє IBAP. Також ми плануємо визначити числову характеристику IBAP --- C-IBAP (тут C --- додатнє число; ця характеристика буде тісно пов’язана із чисельною характеристикою послідовностей Рісса-Фішера) і дослідити її --- отримати характеризації CIBAP; встановити зв’язок між IBAP системи підпросторів і C-IBAP її підсистем, які складаються з k підпросторів, отримати достатню умову для того, щоб система підпросторів володіла C-IBAP, одержаний результат застосувати до систем власних підпросторів неперервних лінійних операторів, а також до систем маргінальних підпросторів. Системи підпросторів, для яких питання про замкненість їхньої суми є дуже важливим, виникають у різних областях математики. В проєкті планується дослідити питання про замкненість і максимальність суми підпросторів простору операторів (які діють із одного банахового простору в інший), які складаються з операторів, ядра яких містять задані підпростори. Для розв’язання задач, пов’язаних із системами підпросторів, ми будемо використовувати методи функціонального аналізу і теорії операторів. Для отримання умов, за яких система маргінальних підпросторів, породжених випадковими величинами із певного класу, володіє IBAP буде використане поняття базису Рісса.