Метод інтерполяції з використанням коренево-дробово-раціональних функцій різного порядку

Мельник, І., Починок, А., Скрипка, М., Дем'янченко, О. (2025). Method of interpolation using root-fractional-rational functions of different orders. Bulletin of Taras Shevchenko National University of Kyiv. Physics and Mathematics, 80(1), 130–138. https://doi.org/10.17721/1812-5409.2025/1.17

Розглянуто можливість інтерполяції різних видів математичних функцій з використанням коренево-дробово-раціональних функцій різного порядку, а саме другого, третього та четвертого. Показано, що коренево-дробово-раціональні функції надають точну інтерполяцію з малою похибкою навіть жорстких аналітичних залежностей. Розглянуто коренево-дробово-раціональні функції від другого до четвертого порядку та наведено відповідні аналітичні співвідношення для визначення поліноміальних коефіцієнтів у чисельнику та знаменнику. Описано аналітичний метод розв'язування системи лінійних алгебраїчних рівнянь для пошуку коефіцієнтів коренево-дробово-раціональних функцій, оснований на відомому методі виключення змінних Гаусса – Зейделя, який відрізняється тим, що аналітичні обчислення проведені ітераційно та, для систематизації поставленої математичної задачі, усі коефіцієнти пронумеровані. Нумерація змінних містить три коефіцієнти: номер ітерації, номер рівняння та номер змінної у цьому рівнянні. Такий систематизований підхід до розв'язування задачі у значній мірі спростив проведення аналітичних розрахунків. Також доведено, що кількість необхідних точок для інтерполяції відповідає значенню 2n+1, де n – порядок коренево-дробово-раціональної функції. Наведено приклади інтерполяції різних функцій для задач електродинаміки, моделювання магнітних лінз, імовірнісних задач і задач нечіткої логіки, а також визначено похибку інтерполяції для всіх розглянутих прикладів. Зокрема, подано результати інтерполяції для розподілу магнітного поля короткої лінзи, для функції помилок erf(x), для експоненціальної функції, для розподілу Бернуллі з різними коефіцієнтами та для П-подібної функції належності. Усі припущення теоретичного аналізу перевірені за допомогою оригінально розробленого програмного забезпечення для ЕОМ, створеного засобами мови програмування Python. Для більшості розглянутих прикладів отримана похибка інтерполяції становить менше кількох відсотків. Наведено також графічні результати тестування, отримані для запропонованого методу інтерполяції.