Неповні тригонометричні сплайни в задачах побудови наближених розв'язків лінійних диференціальних рівнянь другого порядку

Денисюк, В., Олешко, Т., Рибачук, Л. (2026). Incomplete trigonometric splines in the problems of constructing approximate solutions of the second order linear differential equations. Bulletin of Taras Shevchenko National University of Kyiv. Physics and Mathematics, 82(1), 2218–2055. https://doi.org/10.17721/1812-5409.2026/1.15

Представлено числовий аналітичний метод для отримання наближених розв'язків першої крайової задачі, пов'язаної з лінійними диференціальними рівняннями другого порядку. Підхід базується на використанні неповних фундаментальних тригонометричних сплайнів, як парних, так і непарних, структурні властивості яких дуже схожі на властивості класичних поліноміальних сплайнів та були широко досліджені в попередніх роботах. Запропонована методологія використовує мінімізацію залишків за допомогою встановленого методу колокації, тим самим зводячи вихідну задачу до розв'язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь відносно параметрів, що визначають сплайн. Відмінна особливість цього методу полягає в тому, що самі значення шуканого розв'язку є визначальними параметрами фундаментальних тригонометричних сплайнів. Граничні умови враховано шляхом призначення конкретних значень для відповідних параметрів сплайна. Теоретичний виклад доповнено ілюстративними прикладами.
Варто зазначити, що неповні тригонометричні сплайни є функціями з певною парністю. На нашу думку, у багатьох випадках ця властивість зручна під час задання граничних умов для шуканого розв'язку. Наведений метод передбачає узагальнення. Зокрема, мінімізацію залишку можна здійснити методом дискретних найменших квадратів і його варіаціями. Цей метод також можна застосовувати до лінійних диференціальних рівнянь довільного порядку.