Обмеженi розв’язки рiзницевих рiвнянь другого порядку зi стрибком операторних коефiцiєнтiв

Дисертацiйна робота присвячена дослiдженню питань про iснування єдиного обмеженого розв’язку рiзницевих рiвнянь другого порядку зi стрибками операторних коефiцiєнтiв та єдиного обмеженого в середньому розв’язку стохастичних аналогiв таких рiвнянь.
Дисертацiя складається з анотацiй українською та англiйською мовами, вступу, чотирьох роздiлiв основної частини, висновкiв, списку використаних джерел та додатку.
У вступi обґрунтовано актуальнiсть теми, вказано зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами, встановлено мету i завдання, об’єкт, предмет та методи дослiдження, наведено наукову новизну та практичне значення отриманих результатiв, охарактеризовано особистий внесок здобувача, наведено список конференцiй та наукових семiнарiв, на яких дисертацiйна робота пройшла апробацiю, та короткий змiст роботи.
У першому роздiлi дисертацiйної роботи наведено огляд лiтератури за тематикою дисертацiйної роботи та результатiв, отриманих iншими авторами. Також цей роздiл мiстить порiвняльний аналiз iз деякими роботами, що мiстять подiбнi результати.
У другому роздiлi дисертацiї дослiджується питання про iснування єдиного обмеженого розв’язку лiнiйного рiзницевого рiвняння другого порядку зi стрибком операторного коефiцiєнта, лiва частина якого є рiзницевим аналогом другої похiдної у скiнченновимiрному банаховому просторi. Отримано необхiднi i достатнi умови на оператори, при виконаннi яких iснує єдиний обмежений розв’язок такого рiвняння. Окремо розглядався випадок, коли оператори в одному i тому ж базисi зводяться до дiагонального вигляду (тобто мають один i той же набiр власних векторiв, якi утворюють базис). Також вдалось дослiдити бiльш загальний випадок, коли матриці операторiв мають жорданову нормальну форму у одному i тому ж базисi.
У третьому роздiлi дисертацiї дослiджується питання про iснування єди- ного обмеженого розв’язку лiнiйного рiзницевого рiвняння другого порядку загального вигляду зi стрибками операторних коефiцiєнтiв у скiнченнови мiрному банаховому просторi. Було знайдено необхiднi i достатнi умови на оператори, при виконаннi яких iснує єдиний обмежений розв’язок такого рiвняння у загальному випадку, а також уточнено цi умови, коли оператори належать деяким спецiальним класам.
У четвертому роздiлi дисертацiйного дослiдження дослiджується питання про iснування єдиного обмеженого в середньому розв’язку лінійного рiзницевого рiвняння другого порядку зi стрибком операторного коефiцiєнта у сепарабельному банаховому просторi. У пунктi 3 цього роздiлу знайдено достатнi умови на оператори, при виконаннi яких таке різницеве рiвняння має єдиний обмежений в середньому розв’язок. У пунктi 4 цього роздiлу оцiнено близькiсть при n → ∞ компонент обмеженого у середньому розв’язку рiзницевого рiвняння зi стрибком операторного коефіцієнта до компонент обмеженого в середньому розв’язку рiзницевого рiвняння зi сталим операторним коефiцiєнтом. У п’ятому пунктi четвертого роздiлу розглянуто нелiнiйне рiзницеве рiвняння. Для цього рiвняння знайдено достатнi умови iснування єдиного обмеженого в середньому розв’язку.
Також у дисертацiйнiй роботi наведенi приклади застосування теорем до дослiдження конкретних рiвнянь.
У дисертацiйнiй роботi отримано такi новi науковi результати:
_ доведено критерiй iснування єдиного обмеженого розв’язку лінійного рiзницевого рiвняння другого порядку загального вигляду зi стрибками операторних коефiцiєнтiв у скiнченновимiрному банаховому просторi;
_ встановлено, що цей критерiй суттєво спрощується у таких двох випадках:
а) лiва частина рiзницевого рiвняння є рiзницевим аналогом другої похiдної, а матрицi операторних коефiцiєнтiв зводяться до жорданової нормальної форми в одному i тому ж базисi;
б) вiдповiднi до рiзницевого рiвняння "алгебраїчнi" операторнi рівняння мають коренi, що задовольняють деякi спецiальнi умови;
_ встановлено достатнi умови iснування єдиного обмеженого в середньому розв’язку рiзницевого рiвняння другого порядку зi стрибком операторного коефiцiєнта, збуреного обмеженою в середньому послiдовнiстю випадкових елементiв;
_ дослiджено питання про близькiсть при n → ∞ єдиного обмеженого в середньому розв’язку рiзницевого рiвняння другого порядку зi стрибком операторного коефiцiєнта до обмеженого в середньому розв’язку вiдповiдного рiзницевого рiвняння зi сталим операторним коефiцiєнтом;
_ знайдено достатнi умови iснування єдиного обмеженого в середньому розв’язку слабко нелiнiйного рiзницевого рiвняння другого порядку зi стрибком операторного коефiцiєнта.
Дисертацiйна робота має як теоретичне, так i практичне значення.
Отриманi в роботi результати можуть бути використанi в подальших дослiдженнях властивостей розв’язкiв рiзницевих рiвнянь другого порядку зi змiнними операторними коефiцiєнтами.

Ключовi слова: рiзницеве рiвняння, банахiв простiр, лiнiйний обмежений оператор, обмежений розв’язок, експоненцiальна дихотомiя, обмежений в середньому розв’язок, стацiонарний розв’язок, близькiсть розв’язкiв.

The thesis is devoted to the study of the problem of existence of unique bounded solution of second-order linear difference equations with jumps of operator coefficients and a unique solution bounded in the mean of stochastic analogues of such equations.
The dissertation consists of an abstract in Ukrainian and English, an introduction, four chapters of the main part, conclusions, a reference list, and an appendix.
In the introduction the research topic is motivated, the purpose, object, subject, tasks, and methods of research are formulated, and the scientific novelty of the obtained results and their practical significance is indicated, the connection of the work with scientific programs and personal contribution of the applicant.
Also it is indicated where the results have been discussed and published.
Chapter 1 provides a review of the literature on the topic of the thesis and the results obtained by other authors. Also, this chapter provides a comparative analysis with some works containing similar results.
The Chapter 2 is devoted to the study of the problem of existence of the unique bounded solution of a linear second-order difference equation with a jump of operator coefficient the left part of which is a difference analogue of the second derivative in a finite-dimensional Banach space. Necessary and sufficient conditions for the operators were obtained, in the case of which there is a unique bounded solution of such an equation. The case when operators in the same basis are reduced to the diagonal form was considered separately. It was also possible to investigate the more general case when the operator matrices have Jordan normal form in the same basis.
The Chapter 3 is investigated of the problem of existence of unique bounded solution of second-order linear difference equations of the general form with jumps of operator coefficients in a finite-dimensional Banach space. Necessary and sufficient conditions for the operators were obtained, in the case of which there is a unique bounded solution of such an equation in the general case.
These conditions when the operators belong to some special classes have also been clarified.
The Chapter 4 is devoted to the study of the problem of existence of the unique bounded in the mean solution of a linear second-order difference equation with a jump of operator coefficient the left part of which is a difference analogue of the second derivative in a separable Banach space. Sufficient conditions are given for the existence of a unique solution bounded in the mean to a secondorder difference equation with jumps of operator coefficients. The question of the proximity of this solution to the stationary solution of the corresponding difference equation with constant operator coefficients is studied. Next, the nonlinear difference equation was considered. Sufficient conditions for the existence of a unique bounded in the mean solution for this equation were obtained.
Also, examples of the application of theorems to the study of specific equations are given in the thesis.
The following new results were developed in the thesis :
_ the criterion for the existence of a unique bounded solution of a linear second-order difference equation of the general form with jumps of operator coefficients in a finite-dimensional Banach space is proved;
_ it is established that this criterion is significantly simplified in such two cases:
a) the left part of the difference equation is the difference analogue of the second derivative and the matrices of operator coefficients reduce to the Jordan normal form in the same basis;
b) "algebraic"operator equations corresponding to the difference equation have solutions that satisfy some special conditions;
_ sufficient conditions for the existence of a unique bounded in the mean solution of a second-order difference equation with a jump in the operator coefficient disturbed by a bounded in the mean sequence of random elements have been established;
_ the question of proximity for n → ∞ of the unique bounded in the mean solution of a second-order difference equation with a jump of the operator coefficient to the bounded in the mean solution of the corresponding difference equation with a constant operator coefficient is investigated;
_ sufficient conditions for the existence of a unique bounded in the mean solution of a weakly nonlinear second-order difference equation with a jump of the operator coefficient have been found.
The thesis is both theoretical and practical research. The obtained results can be used in further studies of the properties of solutions of second-order difference equations with variable operator coefficients.

Keywords: difference equation, Banach space, linear bounded operator, bounded solution, exponential dichotomy, bounded in the mean solution, stationary solution, proximity of solutions.

Кравець В. П. Обмеженi розв’язки рiзницевих рiвнянь другого порядку зi стрибком операторних коефiцiєнтiв : дис. ... д-ра філософії : 111 Математика / Кравець Вiкторiя Павлiвна. - Київ, 2023. - 124 с.