Проксимальні алгоритми для дворівневих задач опуклої оптимізації

Люта, А. В., Жиліна, С. O., & Семенов, В. В. (2021). Проксимальні алгоритми для дворівневих задач опуклої оптимізації. Журнал обчислювальної та прикладної математики, (1), 145–150. https://doi.org/10.17721/2706-9699.2021.1.19

У роботі розглянуто задачі дворівневої опуклої мінімізації у гільбертовому просторі. Дворівнева задача опуклої мінімізації полягає у мінімізації першої опуклої функції на множині мінімумів другої опуклої функції. Ця постановка має багато застосувань, але неявні обмеження, що породжені внутрішньою задачею ускладнюють отримання умов оптимальності та побудову методів. Подібним чином формулюються й багаторівневі задачі, джерелом яких стали питання дослідження операцій (оптимізація за послідовно заданими критеріями або лексикографічна оптимізація). Увага зосереджена на розв’язанні задач за допомогою двох методів проксимального типу. Основні теоретичні результати – теореми про збіжність методів у різних ситуаціях. Перший з методів отриманий поєднанням методу штрафних функцій та проксимального методу. Доведена сильна збіжність у випадку сильної опуклості функції зовнішньої задачі. У загальному випадку отримана лише слабка збіжність. Другий, так званий, проксимально-градієнтний метод є поєднанням одного з варіантів швидкого проксимально-градієнтного алгоритму з методом штрафних функцій. Встановлені оцінки швидкості проксимально-градієнтного методу та його слабка збіжність.