Асимптотичні та коливні властивості розв’язків динамічних рівнянь на часових шкалах

Цань В. Б. Асимптотичнi та коливнi властивостi розв’язкiв динамiчних рiвнянь на часових шкалах : дис. ... доктора фiлософiї : 111 Математика / наук. кер. О.М. Станжицький. Київ, 2024. 152 с.

Дисертаційна робота присвячена вивченню асимптотичних та коливних властивостей динамічних рівнянь на сім'ї часових шкал Tλ, зокрема дисипативності динамічних систем, обмеженості, коливності та періодичності їх розв'язків і пошуку умов збереження таких властивостей при переході від диференціальних до динамічних рівнянь на часових шкалах та навпаки.
Сім'я часових шкал Tλ, що розглядається, охоплює весь можливий діапазон часу від -∞ до +∞, де λ∈Λ⊂R і λ=0 гранична точка множини Λ. Функція зернистості μλ (t):Tλ→[0,+∞) така, що якщо μλ→0 при λ→0, то Tλ збігаться з неперервною шкалою часу T0=R, а система динамічних рівнянь переходить в систему диференціальних рівнянь.
В роботі вивчено властивість обмеженості розв'язків динамічних рівнянь на сім'ї часових шкал Tλ за припущення, що права частина системи неперервно диференційовна та обмежена разом зі своїми частинними похідними. Для динамiчних систем на часовiй шкалi загального вигляду вперше отримано явну оцінку малості функції зернистості μλ, яка гарантує збереження глобальних обмежених розв'язків при переході від диференціальних до динамічних рівнянь на часових шкалах загального вигляду та навпаки.
Також одержано достатні умови дисипативності та рівномірної дисипативності системи динамічних рівнянь на часових шкалах загального вигляду в термінах функції Ляпунова. Вперше в теорії часових шкал доведено існування функції Ляпунова з певними властивостями для дисипативної системи динамічних рівнянь. Питання про зв'язок між дисипативністю системи диференціальних рівнянь та відповідної їй системи різницевих рівнянь, що є частковим випадком динамічних рівнянь на часових шкалах, коли шкала набуває вигляду T=hℤ з кроком h>0, раніше вивчалось у роботах О. Станжицького та А. Ткачук. У даній роботі такий зв'язок був досліджений між диференціальними та динамічними системами на сім'ї часових шкал з малою функцією зернистості.
Визначенню критеріїв коливності розв'язків різних видів динамічних рівнянь на часових шкалах присвячені роботи R. Agarwal, D. O'Regan, G. Guseinov, B. Kaymakcal, L. Erbe, A. Peterson, S. Saker, M. Bohner та інших. Однак, у перерахованих роботах коливність розв'язків динамічних рівнянь досліджується на певних часових шкалах із заданими властивостями, тоді як зв'язок між коливністю розв'язків динамічних рівнянь на шкалах та відповідних диференціальних рівнянь раніше досліджено не було. Даному питанню присвячено один з розділів цієї дисертації, де визначено умови коливності розв'язків лінійного динамічного рівняння другого порядку на загальних часових шкалах при коливності відповідних розв'язків диференціального рівняння та навпаки, а також отримано умови коливності розв'язків слабко нелінійних диференціальних рівнянь другого порядку та слабко нелінійних динамічних рівнянь другого порядку на часових шкалах, за наявності такої властивості у відповідних розв'язків лінійних динамічних рівнянь на часових шкалах та лінійних диференціальних рівнянь на дійсній осі відповідно.
У дисертації встановлено, що з існування асимптотично стійкого періодичного розв'язку системи динамічних рівнянь на періодичній часовій шкалі Tλ з періодом τ випливає наявність періодичного з періодом кратним τ розв'язку відповідної системи диференціальних рівнянь і навпаки за умови достатньої малості функції зернистості часової шкали.
Усі отримані результати проілюстровано прикладами, що містять побудови виконані за допомогою середовища MATLAB, які відображають поведінку розв'язків систем динамічних рівнянь на часових шкалах при зменшенні функції зернистості.
Дисертаційна робота має як теоретичне, так і практичне значення. Отримані в ній теоретичні результати, а також розроблена методика досліджень сприятимуть подальшому розвитку теорії динамічних рівнянь на часових шкалах. Вони також можуть бути використані при дослідженні процесів у біології, економіці, фізиці та інших об'єктів природознавства, математичними моделями яких є динамічні рівняння на часових шкалах.