Кафедра теорії ймовірностей, статистики та актуарної математики

За останні роки співробітники кафедри ведуть інтенсивну наукову роботу. Основними областями наукових досліджень на кафедрі є теорія випадкових процесів, стохастичний аналіз, статистика випадкових процесів та полів, фінансова та актуарна математика. Окреслимо основні наукові досягнення кафедри. Побудовано стохастичне числення для дробового броунівського руху, споріднених процесів та полів. Доведено існування та єдиність розв’язків стохастичних диференціальних рівнянь з дробовим броунівським полем. Одержано дробову формулу Блека-Шоулза. Доведено безарбітражність змішаних броунівських-дробово-броунівських моделей фінансових ринків. Доведено функціональні граничні теореми для фінансових ринків при переході від дискретного часу до неперервного. Розв’язано задачі статистичного оцінювання для процесів з пам’яттю. Досліджено випадкові процеси з просторів Орліча випадкових величин. Знайдено нові оцінки розподілів супремумів цих процесів та вивчена їх поведінка при прямуванні аргумента до нескінченності. Це дозволило знайти умови рівномірної збіжності з імовірністю одиниця вейвлет-розкладів випадкових процесів. Досліджено задачу оптимального оцінювання лінійних функціоналів від векторних неперервних та дискретних стаціонарних процесів за даними спостережень процесів з адитивним шумом. Виведено формули для обчислення величини середньоквадратичної похибки та спектральної характеристики оптимальної оцінки у тому випадку, коли спектральні щільності процесів відомі. Якщо спектральні щільності невідомі, проте задані класи можливих щільностей, знайдені мінімаксні (робастні) спектральні характеристики оптимальної лінійної оцінки функціоналів. Виведено рівняння, що визначають найменш сприятливі спектральні щільності конкретних класів щільностей. Побудовано рівняння для оцінювання медіани симетричного розподілу за спостереженнями з домішкою. Доведено конзистентність та асимптотичну нормальність отриманих оцінок. Знайдено оцінюючі функції, які забезпечують мінімізацію коефіцієнта розсіювання оцінки. Розроблено техніку адаптивного оцінювання, яка дозволяє отримати оцінки, близькі до оптимальних. Поведінку оцінок на вибірках фіксованого обсягу досліджено методами імітаційного моделювання. Побудовано наближені методи розв'язання стохастичних диференціальних рівнянь з дробовим броунівським рухом, статистичні методи для таких рівнянь. Розроблено завершену теорію змішаних стохастичних диференціальних рівнянь, побудові наближені методи їхнього розв'язання. Розвинуто теорію мультидробових процесів: визначено нові мультидробові процеси і поля з потрібними модельними якостями, встановлено властивості їхніх реалізацій. Розвинений cтохастичний аналіз застосовано до таких актуальних задач фінансової математики, як хеджування платіжних зобов'язань, встановлення критеріїв безарбітражності фінансових моделей, оптимальне виконання фінансових зобов'язань. Розроблено методи наближеного розв’язування нескінченновимірних та упереджуючих стохастичних диференціальних рівнянь, а також стохастичних диференціальних рівнянь з дробовим броунівським рухом. Доведено збіжність і отримано оцінки швидкості збіжності наближених розв'язків до істинних. Отримано результати з наближеного оцінювання фінансових деривативів, оптимальної реалізації платіжних зобов’язань. Доведено граничні теореми типу сильного принципу інваріантності для суперпозиції випадкових процесів, випадкових сум при різних припущеннях стосовно доданків і їх залежності, що дозволило вивчати асимптотику процесів ризику. Досліджено функціонування страхових компаній за умови інвестування в безризикові та ризикові активи. Побудовано теорію стійкості та ергодичності стохастичних процесів марковського типу та розроблено її застосування, вивчено неоднорідні збурення процесів Маркова та неоднорідні моделі теорії ризику. Досліджено стійкість ланцюгів Маркова, зокрема в неоднорідному випадку. Досліджено асимптотичну поведінку емпіричних спектральних функціоналів, одержані результати застосовано до задач статистичного оцінювання випадкових процесів та полів.