Петрина Григорій ОлексійовичСтанжицький, Олександр Миколайович2025-05-232025-05-232025-05-21Петрина Г. О. Асимптотична поведінка розв’язків стохастичних функціонально-диференціальних рівнянь : дис. … доктора філософії : 111 Математика / Петрина Григорій Олексійович ; наук. кер. О. М. Станжицький. Київ, 2025. 148 с.УДК 517.9https://ir.library.knu.ua/handle/15071834/6513Сучасний розвиток прикладної математики та теорії ймовірностей стимулює поглиблений аналіз динамічних систем, у яких майбутня еволюція залежить від попередніх станів. Процеси, що характеризуються затримками або «пам’яттю», знаходять широке застосування в біології, фізиці, техніці та економіці. Дисертаційне дослідження зосереджене на вивченні асимптотичної поведінки розв’язків стохастичних функціонально-диференціальних рівнянь із запізненням та розробці практичних методів апроксимації таких систем моделями без запізнення. У роботі розглядаються як скінченновимірні, так і нескінченновимірні моделі, що враховують випадкові збурення та часові затримки. Особливу увагу приділено розробці підходів, які дозволяють співставити поведінку систем із запізненням з відповідними моделями без затримок, що суттєво спрощує аналіз довгострокової динаміки процесів, де вплив попередніх станів є критичним. Завдяки цьому підходу вдалося не лише описати, але й передбачити стабільність і зміни в системах, що розглядаються. Запропоновані методики апроксимації дозволяють редукувати складні нескінченновимірні об’єкти до скінченновимірних моделей, зберігаючи при цьому основні динамічні характеристики вихідних систем. Розроблені схеми охоплюють як випадки класичних точкових затримок, так і інтегральних запізнень, а також розглядаються ситуації, коли системи керуються необмеженими лінійними операторами. Для кожного з таких випадків встановлено умови, за яких розв’язки апроксимованих систем збігаються до розв’язків вихідних задач як у середньому квадратичному сенсі, так і з імовірністю 1. Аналіз сучасної літератури свідчить, що більшість попередніх досліджень асимптотичної еквівалентності та апроксимації зосереджувалось на детермінованих системах або на лінійних моделях, де питання впливу стохастичних збурень залишалося менш розглянутим. Представлені підходи розширюють ці результати, адже враховують як нелінійні ефекти, так і випадкові збурення, що відкриває нові можливості для застосування методів аналізу затримок у більш складних моделях. Особливо актуальним є питання чисельного моделювання, оскільки запропоновані апроксимаційні схеми сприяють розробці ефективних алгоритмів для прогнозування поведінки динамічних систем у режимах реального часу. Важливим аспектом дослідження є комплексний підхід до аналізу як теоретичних, так і практичних проблем. На теоретичному рівні розглядаються питання існування та єдиності розв’язків, а також умови асимптотичної еквівалентності між системами із запізненням і їх апроксимуючими аналогами. Приведені приклади демонструють, як ці теоретичні результати можуть бути використані для розробки нових чисельних методів, що дозволяють підвищити точність і швидкість обчислень у складних моделях. Окрім цього, проведено порівняльний аналіз різних підходів до моделювання процесів з затримками, що дозволяє визначити переваги застосування запропонованих методик у порівнянні з традиційними методами. Так, методи апроксимації, засновані на редукції нескінченновимірного простору до скінченновимірного, забезпечують не лише точність, а й зменшують обчислювальні витрати, що є надзвичайно важливим для застосування в реальних прикладних задачах. Дослідження також розглядає вплив параметрів системи на її асимптотичну поведінку та визначає чутливість моделей до випадкових збурень. Отримані результати свідчать про те, що правильно підібрані апроксимаційні схеми можуть забезпечити високий рівень збіжності розв’язків, що відкриває перспективи для їх використання у розробці програмних засобів для моделювання складних динамічних процесів. Крім того, у дослідженні ретельно проаналізовано вплив параметричних варіацій на точність апроксимації. Дослідження показало, що навіть незначні зміни вихідних умов чи характеристик моделі не порушують збіжність апроксимованих розв’язків до вихідних, що підтверджує стійкість запропонованих підходів. Це відкриває перспективи для їх подальшого використання в аналізі та моделюванні динамічних процесів у різних галузях науки і техніки. Подальші напрямки досліджень можуть включати розширення застосування розроблених методик до багатовимірних нелінійних систем, що враховують як часові, так і просторові затримки. Також перспективним є вивчення впливу різних типів стохастичних збурень на стабільність моделей, що дозволить більш глибоко дослідити механізми виникнення автоколивань та інших нелінійних явищ. Отже, проведене дослідження представляє всебічний аналіз асимптотичної поведінки стохастичних функціонально-диференціальних рівнянь із запізненням, охоплюючи як глибокі теоретичні аспекти, так і практичні питання апроксимації та чисельного моделювання. Запропоновані методики сприяють точному прогнозуванню довгострокової динаміки складних систем, де врахування затримок та випадкових впливів є критично важливим. Розроблені підходи створюють основу для подальших досліджень у сфері аналізу стохастичних процесів і можуть бути адаптовані для вирішення широкого спектру практичних задач у сучасній науці та техніці, розумінню впливу затримок на стабільність і динаміку стохастичних процесів.The modern development of applied mathematics and probability theory stimulates an in-depth analysis of dynamic systems whose future evolution depends on their past states. Processes characterized by delays or «memory» find wide application in biology, physics, engineering, and economics. The study is focused on investigating the asymptotic behavior of solutions of stochastic functional-differential equations with delay and on developing practical methods for approximating such systems by delay-free models. The research considers both finite-dimensional and infinite-dimensional models that take into account random perturbations and time delays. Special attention is given to the development of approaches that allow one to compare the behavior of delayed systems with the corresponding delay-free models, which significantly simplifies the analysis of the long-term dynamics of processes where the influence of previous states is critical. This approach has enabled not only the description but also the prediction of the stability and changes in the systems under consideration. The proposed approximation methods allow the reduction of complex infinitedimensional objects to finite-dimensional models while preserving the main dynamic characteristics of the original systems. The developed schemes cover both cases of classical point delays and integral delays, as well as situations in which the systems are governed by unbounded linear operators. For each such case, conditions are established under which the solutions of the approximating systems converge to the solutions of the original problems both in the mean-square sense and almost surely. An analysis of the modern literature indicates that most previous studies on asymptotic equivalence and approximation have concentrated on deterministic systems or linear models, where the impact of stochastic perturbations has been less explored. The approaches presented here extend these results by taking into account both nonlinear effects and random perturbations, thereby opening new possibilities for applying delay analysis methods to more complex models. The issue of numerical modeling is especially relevant, as the proposed approximation schemes contribute to the development of efficient algorithms for forecasting the behavior of dynamic systems in real-time settings. A key aspect of the study is its comprehensive approach to addressing both theoretical and practical problems. At the theoretical level, issues such as the existence and uniqueness of solutions, their stability, and the conditions for asymptotic equivalence between delayed systems and their approximating analogues are examined. The practical part of the study demonstrates how these theoretical results can be used to develop new numerical methods that enhance both the accuracy and speed of computations in complex models. Moreover, a comparative analysis of various approaches to modeling processes with delays is carried out, which allows for the identification of the advantages of the proposed methods over traditional techniques. In particular, approximation methods based on reducing an infinite-dimensional space to a finite-dimensional one not only ensure high accuracy but also reduce computational costs4an aspect that is extremely important for applications in real-world problems. The study also examines the impact of system parameters on its asymptotic behavior and determines the sensitivity of the models to random perturbations. The results indicate that appropriately chosen approximation schemes can ensure a high level of convergence of the solutions, thereby opening prospects for their use in the development of software tools for modeling complex dynamic processes. In addition, the research thoroughly analyzes the effect of parametric variations on the accuracy of the approximation. It has been shown that even slight changes in the initial conditions or model characteristics do not disturb the convergence of the approximated solutions to the original ones, which confirms the robustness of the proposed approaches. This opens up further prospects for their use in the analysis and modeling of dynamic processes across various fields of science and technology. Future research directions may include extending the application of the developed methods to multidimensional nonlinear systems that account for both temporal and spatial delays. It is also promising to study the impact of different types of stochastic perturbations on the stability of the models, which would allow for a deeper investigation into the mechanisms behind the emergence of self-oscillations and other nonlinear phenomena. Thus, the conducted research presents a comprehensive analysis of the asymptotic behavior of solutions of stochastic functional-differential equations with delay, covering both profound theoretical aspects and practical issues related to approximation and numerical modeling. The proposed methods contribute to the accurate long-term forecasting of the dynamics of complex systems, where accounting for delays and random influences is critically important. The developed approaches provide a basis for further research in the field of stochastic process analysis and can be adapted to solve a wide range of practical problems in modern science and technology. Understanding the impact of delays on the stability and dynamics of stochastic processes.ukстохастичні рівнянняпроцес Вінерафункціонально-диференціальні рівняннязапізненняасимптотична еквівалентністьапроксимаціяасимптотична поведінкапараболічні рівнянняпочаткові данізадача Кошівипадкові процесишвидкість збіжності.stochastic equationsWiener processfunctional-differential equationsdelayasymptotic equivalenceapproximationasymptotic behaviorparabolic equationsinitial dataCauchy problemrandom processesconvergence rateДисертація