Зеленська Ірина ОлександрівнаСобчук, Валентин Володимирович2025-05-192025-05-192025-05-15Зеленська І.О. Асимптотичне інтегрування систем сингулярно збурених диференціальних рівнянь з точкою звороту : дис. … доктора філософії : 111 Математика / Наук. кер. В.В. Собчук. Київ, 2025. 201 с.УДК 517.9https://ir.library.knu.ua/handle/15071834/6466Дисертацiйна робота присвячена асимптотичному iнтегруванню системи сингулярно збурених диференцiальних рiвнянь з диференцiальною точкою звороту. Дисертацiя складаеться з анотацiй українською та англiйською мовами; вступу; трьох роздiлiв основної частини; висновкiв; списку використаних джерел та додатку. У вступi обгрунтовано актуальнiсть теми; вказано зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами, встановлено мету i завдання; об’єкт; предмет та методи дослiдження, наведено наукову новизну та практичне значення отриманих результатiв, охарактеризовано особистий внесок здобувача, наведено список конференцiй та наукових семiнарiв, на яких дисертацiйна робота пройшла апробацiю, та короткий змiст роботи. У першому роздiлi дисертацiйної роботи наведено огляд лiтератури за тематикою дослідження та результатiв, отриманих iншими авторами. Також цей роздiл мiстить порiвняльний аналiз iз деякими роботами, що мiстять подiбнi результати. У другому роздiлi дисертацii дослiджується питання про побудову рiвномiрної асимптотики розв’язку для стабiльної диференцiальної точки звороту за рiзних умов на коефiцiєнти основної матрицi. Отримано необхiднi умови для забезпечення iснування рiвномiрноi асимптотики розв’язку системи сингулярно збурених диференцiальних рiвнянь. Окремо розглянуто випадок, коли коефiцiєнти основної матрицi мають рiзнi знаки. Також дослiджено випадок, коли коефiцiєнти матрицi мають однаковi знаки. У третьому роздiлi дисертацiї дослiджується питання про побудову рiвномiрної асимптотики розв’язку для нестабiльної диференцiальної точки звороту за рiзних умов на коефiцiєнти основної матрицi. Також у дисертацiйнiй роботi наведенi приклади застосування методу iстотно особливих функцiй до дослiдження систем сингулярно збурених диференцiальних рiвнянь з конкретно заданими коефiцiєнтами основної матрицi та правої частини системи. У дисертацiйнiй роботi отримано такi новi науковi результати: - розроблено метод побудови рівномірної асимптотики розв'язку системи сингулярно збурених диференціальних рівнянь з точкою звороту, яку отримано з відповідного сингулярно збуреного диференціального рівняння третього порядку типу Лiувiлля; - для системи сингулярно збурених диференціальних рівнянь розглянуто випадок диференціальної точки звороту для рiзних значень коефіцієнтів матрицi, а саме коли коефіцієнти обидва додатнi; обидва вiд’ємнi та обидва, відповідно, почергово рiзних знакiв; - отримано необхiднi умови регуляризацiї системи сингулярно збурених диференціальних рівнянь з диференціальною точкою звороту; - розроблено алгоритм, який включає вiсiм етапiв iнтегрування систем сингулярно збурених диференцiальних рiвнянь з точкою звороту; - побудовано асимптотику розв’язкiв для рiзних значень коефiцiєнтiв матрицi; а саме коли коефiцiєнти обидва додатнi; обидва вiд’ємнi та обидва, вiдповiдно, почергово рiзних знакiв; - наведено приклади побудови асимтотики розв’язкiв системи сингулярно збурених диференцiальних рiвнянь з диференцiальною точкою звороту за умов, коли значення коефіцієнтів матрицi почергово рiзних знакiв. Дисертацiйна робота має теоретичне значення. Результати роботи доповнюють теорiю сингулярно збурених диференцiальних рiвнянь з точкою звороту та можуть бути використанi в подальшому для розробки нових методiв асимптотичного аналiзу, якi дозволять дослiджувати бiльш складнi класи систем сингулярно збурених рiвнянь. Одержанi в роботi результати також можуть мати прикладне значення, зокрема, при моделювання потокiв рiдини, визначенні характеристик хвиль та iнших параметрiв гiдродинамiчних систем.Doctor of Philosophy thesis is devoted to the asymptotic integration of a system of singularly perturbed differential equations with a differential turning point. Doctor of Philosophy thesis consists of abstracts in Ukrainian and English, an introduction, three chapters of the main part, conclusions, a list of references and an appendix. The introduction substantiates the relevance of the topic, indicates the connection of the work with scientifc programmes, plans, topics, sets out the purpose and objectives, object, subject and methods of the study, presents the scientific novelty and practical signifcance of the results obtained, describes the personal contribution of the applicant, provides a list of conferences and scientifc seminars where the dissertation was tested, and a brief summary of the work. The first chapter of the dissertation provides a review of the literature on the subject of the thesis and the results obtained by other authors. This section also contains a comparative analysis with some papers that contain similar results. In the second chapter of the dissertation, we study the question of constructing a uniform asymptotic solution for a stable differential turning point under various conditions on the coeficients of the underlying matrix. Necessary conditions for ensuring the existence of a uniform asymptotic solution of a system of singularly perturbed differential equations are obtained. In the third chapter of the dissertation, the question of constructing a uniform asymptotic solution for an unstable differential turning point under different conditions on the coeficients of the main matrix is investigated. Doctor of Philosophy thesis also provides examples of the application of the method of essentially special functions to the study of systems of singularly perturbed differential equations with specifically defined coeficients of the main matrix and the right-hand side of the system. The following new scientific results have been obtained in this dissertation: - A method for constructing a uniform asymptotic solution to a system of singularly perturbed differential equations with a turning point obtained from the corresponding third-order singularly perturbed differential equation of the Liouville type was developed; - for a system of singularly perturbed differential equations, the case of a differential turning point for different values of the matrix coeficients is considered, namely, when the coe cients are both positive, both negative and both, respectively, of different signs; - the necessary conditions for regularisation of the system of singularly perturbed differential equations with a differential turning point are obtained; - an algorithm is developed that includes eight stages of integration of systems of singularly perturbed differential equations with a turning point; - the asymptotics of solutions for different values of the matrix coeffcients are constructed, namely, when the coeficients are both positive, both negative and both, respectively, of different signs; - examples of construction of the asymptotics of solutions of the system of singularly perturbed differential equations with a differential turning point are given under the conditions when the values of the matrix coeficients are of alternate signs. Doctor of Philosophy thesis is of theoretical importance. The results of the work complement the theory of singularly perturbed differential equations with a turning point and can be used in the future to develop new methods of asymptotic analysis that will allow us to study more complex classes of systems of singularly perturbed equations. The results obtained in this work can also be of practical importance, in particular, in modelling fluid flows, determining wave characteristics and other parameters of hydrodynamic systems.ukдиференцiальне рiвнянняасимптотична поведiнказбуреннясингулярно збурені диференціальні рівняннясингулярно збурена система диференціальних рівняньасимптотичний розв’язокістотно особливі функціїпростір безрезонансних розв’язківрівномірна асимптотикамалий параметрεсингулярні збуренняасимптотикиточка зворотудифереціальна точка зворотуфункції Ейріфункції Ейрі–Лангерарівняння Ліувілля.di erential equationasymptotic behaviorperturbationsingularly perturbed di erential equationssingularly perturbed system of di erential equationsasymptotic solutionessentially singular functionsspace of resonancefree solutionsuniform asymptoticssmall parametersingular perturbations6 asymptoticsturning pointdi erential turning pointAiry functionsfunctions Airy LangerLiouville equation.Дисертація