Пришляк, Олександр ОлеговичОлександр ОлеговичПришляк2026-02-252026-02-252024-12-27Пришляк, О. (2024). Правильні восьмикутники в гіперболічній геометрії. У світі математики, 2, 88–103. https://doi.org/10.17721/1029-4171.2024/2.10УДК 514.13/.132:514.710.17721/1029-4171.2024/2.10https://ir.library.knu.ua/handle/15071834/10610When constructing hyperbolic structures on closed surfaces, one can use hyperbolic geometry (Lobachevsky geometry) on the plane. To do this, the surface must be represented as a 2n-gon on the hyperbolic plane, and a discrete group action, which is a subgroup of the movements of the hyperbolic plane, must be defined, for which the 2n-gon serves as a fundamental domain. If such a surface is a double torus (an oriented surface of genus 2), it can be obtained by gluing opposite sides of an octagon. In fact, the Lobachevsky plane is divided into octagons. The presence of symmetries simplifies calculations. Therefore, a natural problem arises regarding the partitioning into regular octagons. Additionally, it is important to provide examples of such octagons by specifying the coordinates of their vertices in one of the models of hyperbolic geometry. The models of the upper half-plane and the Poincaré model on the unit disk are used, for which the Riemannian metric is defined (the formula for finding the lengths of arcs of curves). We describe the main properties of hyperbolic lines and the group of movements (the group of isometric transformations) of hyperbolic geometry on the plane using fractional-linear transformations of the complex plane with real coefficients. A formula has been obtained for the coordinates of the vertices and the lengths of the diagonals of a regular octagon centered at the origin in the Poincaré model. Such regular octagons with four largest angles have been constructed. We can replace the hyperbolic plane by them.При побудові гіперболічних структур на замкнених поверхнях можна використати гіперболічну геометрію (геометрію Лобачевського) на площині. Для цього потрібно подати поверхню у вигляді -кутника на гіперболічній площині і задати дію дискретної групи, що є підгрупою рухів гіперболічної площини, для якої -кутник є фундаментальною областю. Якщо такою поверхнею є подвійний тор (орієнтована поверхня роду ), то її можна отримати, склеївши протилежні сторони восьмикутника. Фактично площина Лобачевського розбивається на восьмикутники. Наявність симетрій спрощує обчислення. Тому природно виникає задача про розбиття на правильні восьмикутники. Крім того, важливо навести приклади таких восьмикутників, задавши координати їх вершин в одній з моделей гіперболічної геометрії. Використовуються моделі верхньої півплощини та модель Пуанкаре на одиничному диску, для яких задана ріманова метрика (формула для знаходження довжин дуг кривих). Ми описуємо основні властивості гіперболічних прямих та групи рухів (групи ізометричних відображень) гіперболічної геометрії на площині за допомогою дробово-лінійних відображень комплексної площини з дійсними коефіцієнтами. Отримано формулу для координат вершин та довжин діагоналей правильного восьмикутника з центром в початку координат у моделі Пуанкаре. Побудовано такі правильні восьмикутники, якими можна замістити гіперболічну площину, для чотирьох найбільших можливих кутів.ukгеометрія Лобачевськогогіперболічна пряманеевклідова геометріягіперболічна тригонометріяріманова метрикаLobachevsky geometryhyperbolic linenon-Euclidean geometryhyperbolic trigonometryRiemannian metricСтаття