Самойленко, В. Г.В. Г.СамойленкоСамойленко, Ю. І.Ю. І.Самойленко2026-04-082026-04-082023-08-14Самойленко, В. Г., & Самойленко, Ю. І. (2023). Існування у просторі Шварца та властивості розв'язків рівнянь типу рівняння Хопфа зі змінними коефіцієнтами. Журнал обчислювальної та прикладної математики, (1), 65–86. https://doi.org/10.17721/2706-9699.2023.1.05УДК 517.9510.17721/2706-9699.2023.1.05https://ir.library.knu.ua/handle/15071834/14734The issue of the existence of solutions of the Cauchy problem for a first-order quasi-linear differential equation with partial derivatives and variable coefficients is considered. The studied equation is a generalization of the classic Hopf equation, which is used in the study of many mathematical models of hydrodynamics. This equation arises when constructing approximate (asymptotic) solutions of the Korteweg–de Vries equation and other equations with variable coefficients and a singular perturbation, in particular, when finding their asymptotic step-type soliton-like solutions. For the mentioned differential equation of the first order, the solution of the Cauchy problem is obtained in analytical form, and the statement about sufficient conditions for the existence of solutions of the initial problem in the space of rapidly decreasing functions is proved. A similar problem for a first-order differential equation with partial derivatives with variable coefficients and quadratic nonlinearity is considered.Розглянуто питання про iснування розв’язкiв задачi Кошi для квазiлiнiйного диференцiального рiвняння першого порядку iз частинними похiдними зi змiнними коефiцiєнтами. Дослiджуване рiвняння є узагальненням класичного рiвняння Хопфа, яке використовується при вивченнi багатьох математичних моделей гiдродинамiки. Це рiвняння виникає при побудовi наближених (асимптотичних) розв’язкiв рiвняння Кортевега–де Фрiза та iнших рiвнянь iнтегровного типу зi змiнними коефiцiєнтами i сингулярним збуренням, зокрема, при знаходженнi їх асимптотичних солiтоноподiбних розв’язкiв типу сходинки. Для згаданого диференцiального рiвняння першого порядку в аналiтичному виглядi отримано розв’язок задачi Кошi та доведено твердження про достатнi умови iснування розв’язкiв початкової задачi у просторi швидко спадних функцiй. Розглянуто аналогiчну задачу для диференцiального рiвняння першого порядку iз частинними похiдними зi змiнними коефiцiєнтами та квадратичною нелiнiйнiстю.ukCauchy problemquasi-linear equationHopf equationKorteweg–de Vries equationasymptotic solutionsrapidly decreasing functionsзадача Кошiквазiлiнiйне рiвняннярiвняння Хопфарiвняння Кортевега–де Фрiзаасимптотичнi розв’язкишвидко спаднi функцiїСтаття