Савельєва, КатеринаКатеринаСавельєваДашко, ОльгаОльгаДашко2026-06-302026-06-302024-09-12Савельєва, К., Дашко, О. (2024). Interaction of longitudinal nonlinear elastic waves. Bulletin of Taras Shevchenko National University of Kyiv. Physics and Mathematics, 78(1), 78–81. https://doi.org/10.17721/1812-5409.2024/1.1510.17721/1812-5409.2024/1.15https://ir.library.knu.ua/handle/15071834/25857The theoretical investigation of the interaction of elastic planar harmonic waves in a material whose nonlinear properties are described by the Murnaghan elastic potential is presented. A review of the methods for analytical study of the wave process is provided. The methodology for studying transverse and longitudinal waves is described. Using the perturbation method for transverse waves, results are presented for the simultaneous propagation of two types of waves: vertically and horizontally polarized. The corresponding equations are written, and the distortion of the respective wave profiles is analyzed. It has been established that because of the nonlinear wave interaction, the transverse waves gradually transform into their third harmonics. With different initial intensities of waves of different polarization, energy is transferred from the powerful wave to the weaker wave. Numerical studies were conducted using values of effective constants for a range of nanocomposite materials. For longitudinal waves, the simultaneous propagation of waves with separate consideration of quadratic and cubic nonlinearity was investigated. Various cases of harmonic wave interaction were studied based on cubic equations of motion. The method of slowly varying amplitudes was sequentially used. The obtained equations, the first integrals of these equations, and the conservation law for four interacting waves are analyzed. Truncated and full evolutionary equations were obtained, and the Manley-Rowe relations were recorded. This research method assumes weak variability of the amplitudes and phases of waves over one period of the oscillatory process. The field of application of such wave research includes several problems in nonlinear optics and plasma physics. Considering cubic nonlinearity is also necessary for the study of internal and surface waves in a fluid. Similarly to how wave triplets can form in quadratically nonlinear media through three-wave interaction, four-wave interaction occurs in cubically nonlinear media, with the formation of wave quadruplets under certain conditions. Pages of the article in the issue: 78 - 81 Language of the article: UkrainianТеоретично досліджується взаємодія пружних плоских гармонічних хвиль в матеріалі, нелінійні властивості якого описуються пружним потенціалом Мурнагана. Наведено огляд методів аналітичного дослідження хвильового процесу. Описано методологію дослідження поперечних та поздовжніх хвиль. З використанням метода збурень для поперечних хвиль представлено результати дослідження одночасного поширення хвиль двох типів: вертикально та горизонтально поляризованих. Записано відповідні рівняння та проаналізовано спотворення відповідних хвильових профілів. Встановлено, що внаслідок нелінійної хвильової взаємодії поперечні хвилі поступово трансформуються в свої треті гармоніки. За умови різної початкової інтенсивності хвиль різної поляризації відбувається перекачування енергії з потужної хвилі в слабку. Проведено числові дослідження з використанням значень ефективних сталих для ряду нанокомпозитних матеріалів. Для поздовжніх хвиль досліджено одночасне поширення хвиль з окремим урахуванням квадратичної та кубічної нелінійності. На основі кубічних рівнянь руху вивчалися різні випадки взаємодії гармонічних хвиль. Поетапно використано метод повільно змінних амплітуд. Проаналізовано отримані рівняння, перші інтеграли цих рівнянь та запис закону збереження для чотирьох взаємодіючих хвиль. Отримано вкорочені та повні еволюційні рівняння та записано співвідношення Менлі-Рова. Даний метод дослідження передбачає слабу змінюваність амплітуд і фаз хвиль протягом одного періоду коливального процесу. Областю застосування такого хвильового дослідження є ряд задач нелінійної оптики та фізики плазми. Врахування кубічної нелінійності є також необхідним для дослідження внутрішніх та поверхневих хвиль у рідині. Подібно до того, як в квадратично нелінійних середовищах при трихвильовій взаємодії можуть утворюватися хвильові триплети, так в кубічно-нелінійних середовищах відбувається чотирихвильова взаємодія, з утворенням при певних умовах хвильових квадруплетів.enharmonic wavecubic nonlinearityplanar wavequadrupletfour-wave interactionгармонічна хвилякубічна нелінійністьплоска хвиляквадруплетчотирихвильова взаємодіяСтаття