Яковлєв Микита СергiйовичРальченко Костянтин Володимирович2024-05-022024-05-102024-05-022024Яковлєв М. С. Оцiнювання параметрiв у лiнiйних моделях з похибками в змiнних та зi змiшаним дробовим броунiвським рухом : дис. ... д-ра філос. : 112 Статистика / Яковлєв Микита Сергiйович. - Київ, 2024. - 153 с.УДК 519.21https://ir.library.knu.ua/handle/123456789/7199Дисертацiйне дослiдження присвячене моделi лiнiйної регресiї за наявностi сумiшi класичної та берксонiвської похибок у регресорi та моделям зi змiшаним дробовим броунiвським рухом, а саме лiнiйним комбiнацiям дробового броунiвського руху з вiнерiвським процесом (за наявностi або вiдсутностi тренду) або з iншим дробовим броунiвським рухом, незалежним вiд першого. Головною метою дослiдження є вивчення асимптотичних властивостей оцiнок, отриманих у результатi застосування розроблених методiв одночасного оцiнювання параметрiв моделей на основi дискретних спостережень. Окрема увага придiляється моделюванню отриманих оцiнок та аналiзу їх поведiнки для рiзноманiтних конфiгурацiй дослiджуваних моделей. У дисертацiї дослiджується три типи лiнiйних моделей iз сумiшами: 1) структурна модель регресiї за наявностi сумiшi класичної та берксонiвської похибок; 2) модель сумiшi дробового броунiвського руху та вiнерiвського процесу; 3) модель сумiшi двох дробових броунiвських рухiв. Окремий акцент у дослiдженнi придiляється асимптотичним властивостям побудованих оцiнок, визначенню їх асимптотичних коварiацiй та умов асимптотичної нормальностi. Моделi регресiї з похибками у змiнних, зокрема з сумiшшю класичної та берксонiвської похибок, застосовуються у радiацiйнiй епiдемiологiї при дослiдженнi впливу радiацiйних ризикiв на популяцiю, що є особливо актуальним для громадян України, оскiльки цей регiон свого часу постраждав вiд Чорнобиль- ської катастрофи. Вiдповiдно, побудова теоретичних iнструментiв для якiсного дослiдження впливу цiєї подiї на популяцiю є актуальною задачею. Для моделi лiнiйної структурної регресiї за наявностi сумiшi класичної та берксонiвської похибок побудовано строго консистентнi оцiнки невiдомих параметрiв моделi та визначено умови їх асимптотичної нормальностi, разом з визначенням груп асимптотично незалежних оцiнок. Окремо дослiдженоасимптотичну поведiнку моделi за умови нормально розподiлених компонент, що дало можливiсть отримати явний вигляд для асимптотичної коварiацiйної матрицi. Отриманi вирази оцiнок параметрiв моделi не залежать вiд берксонiвської похибки, проте остання все одно впливає на їх асимптотичну поведiнку та точнiсть. Суттєве число змiнних у часi природних процесiв зазвичай моделюється стандартним вiнерiвським рухом, який у свою чергу не може бути застосованим для належного моделювання процесiв з властивостями автомодельностi, довготермiнової залежностi й складними кореляцiйними структурами. Ця проблема може бути вирiшена використанням дробового броунiвського руху з iндексом Хюрста 𝐻, прирости якого корелюють, та який має властивостi ко- роткотермiнової (𝐻 < 12 ) або довготермiнової (𝐻 > 12 ) залежностi. При цьому, використання сумiшей на основi цього процесу дає можливiсть моделювати складнiшi конфiгурацiї природних процесiв, якi, наприклад, можуть мати властивостi довготермiнової, так i короткотермiнової залежностi, що якраз може бути змодельовано сумiшшю двох рiзних дробових броунiвських рухiв. У моделях зi сумiшшю дробового броунiвського руху та вiнерiвського процесу дослiджувалась асимптотична поведiнка вже побудованих строго консистентних ергодичних оцiнок для двох випадкiв: а) за вiдсутностi тренду у лiнiйнiй моделi; б) за наявностi тренду у лiнiйнiй моделi. У першому випадку асимптотичну нормальнiсть продемонстровано для значень iндекса Хюрста 𝐻 ∈ (0, 12 ) ∪ (12 , 34 ). Дослiджено властивостi автоковарiацiйних рядiв, що виникають при вивченнi асимптотичної поведiнки допомiжних статистик, на основi яких будуються оцiнки невiдомих параметрiв. При цьому, у моделi за наявностi тренду, асимптотична нормальнiсть продемонстрована для 𝐻 ∈ (0, 1 2), оскiльки у цьому випадку прирости дослiджуваного процесу є нецентрованими й це змiнює структуру асимптотичної коварiацiї допомiжних статистик. У результатi виникають ряди першого порядку, що є розбiжними при 𝐻 ∈ (12 , 34 ). Для моделi сумiшi двох рiзних незалежних дробових броунiвських рухiв з параметрами Хюрста 𝐻1 та 𝐻2 доведено ергодичнiсть послiдовностi приростiв, виведено строго консистентнi одночаснi оцiнки усiх невiдомих параметрiв моделi при 𝐻1 < 𝐻2, визначено умови їх асимптотичної нормальностi таасимптотичної нормальностi допомiжних статистик (0 < 𝐻1 < 𝐻2 < 34 ), виведено явний вигляд їх асимптотичних коварiацiйних матриць. Для кожної з дослiджуваних задач проведено комп’ютерне моделювання побудованих оцiнок, а також оцiнок їх асимптотичних коварiацiйних матриць. Наведенi результати пiдтверджують теоретичнi висновки, узгоджуються з вiдомими результатами, а також дають додаткову iнформацiю щодо поведiнки отриманих оцiнок. Дисертацiйне дослiдження має теоретичний характер, а отриманi результати є внеском у теорiю оцiнювання параметрiв у моделях регресiї з похибками у змiнних та у моделях на основi сумiшей дробового броунiвського руху. Запропонована методологiя може бути використана для побудови загальнiших моделей лiнiйної регресiї за наявностi сумiшi похибок у змiнних, при дослiдженнi моделей випадкових процесiв з властивостями довготермiнової та короткотермiнової залежностей, а також для побудови оцiнок для бiльш складних моделей з дробовим броунiвським рухом. Ключовi слова: Лiнiйнi моделi з похибками у змiнних, лiнiйна регресiя, сумiш класичної та берксонiвської похибок, дробовий броунiвський рух, iндекс Хюрста, змiшаний дробовий броунiвський рух, випадковi процеси, гауссiв процес, стацiонарнi процеси, ергодичнi процеси, строга консистентнiсть, асимптотична нормальнiсть, асимптотична незалежнiсть, довiрчий iнтервал.The thesis is devoted to the errors-in-variables model under a mixture of classical and Berkson errors and models with mixed fractional Brownian motion, namely linear combinations of fractional Brownian motion with a Wiener process (with or without a trend) or with another distinct fractional Brownian motion. The main goal of the research is to study the asymptotic properties of estimates obtained as a result of the application of the developed methods of simultaneous estimation of model parameters based on discrete observations. Particular attention is paid to the simulation of the obtained estimators and the analysis of their behavior for various configurations of the studied models. The thesis examines three types of linear models with mixtures: 1) structural regression model with a mixture of classical and Berkson errors; 2) model with a mixture of fractional Brownian motion and Wiener process; 3) model with a mixture of two fractional Brownian motions. A special emphasis in the research is given to the asymptotic properties of the constructed estimates, the evaluation of their asymptotic correlations, and the conditions of their asymptotic normality. Errors-in-variables regression models, in particular with a mixture of classical and Berkson errors, are used in radioepidemiology for studying the impact of radiation risks on the population, which is especially relevant for citizens of Ukraine, considering that this region was affected by the Chornobyl disaster. Therefore, the construction of theoretical instruments for an effective study of this event’s impact on the population is a relevant task. For linear structural regression model with the presence of mixture of classical and Berkson errors, strictly consistent estimates of the unknown parameters of the models were constructed and the conditions of their asymptotic normality were established, along with the identification of groups of asymptotically independent estimates. Additionally, the asymptotic behavior of estimates was separately investigated under the conditions of normal distribution of model’s components, which made it possible to obtain an explicit form for the asymptotic covariance matrix. Obtained expressions of model parameter estimates are independent of the Berkson error, but it still affects their asymptotic behaviour and accuracy. A significant number of time-varying natural processes is usually modeled by standard Wiener motion, which in turn cannot be used for proper modeling of processes with the properties of self-similarity, long-range dependence, and complex correlation structures. This problem can be solved by using the fractional Brownian motion with the Hurst index 𝐻, the increments of which are correlated, and which has the properties of short-range (𝐻 < 1 2) or long-range (𝐻 > 12 ) dependencies. At the same time, the use of mixtures based on this process makes it possible to model more complex configurations of natural processes, which, for example, can have the properties of both long-range and short-range dependencies, which can be simulated by a mixture of two different fractional Brownian motions. In models with a mixture of fractional Brownian motion and a Wiener process, the asymptotic behavior of previously constructed strictly consistent ergodic estimates was studied in two cases: a) in absence of a trend in the linear model (𝜃 = 0); b) if there is a trend in the linear model (𝜃 ≠ 0). In the first case, asymptotic normality was demonstrated for 𝐻 ∈ (0, 12 ) ∪ (12 , 34 ). The properties of autocovariance series that arise when studying the asymptotic behavior of auxiliary statistics, on the basis of which estimates of unknown parameters are constructed, have been studied. At the same time, in the model with the presence of a trend, asymptotic normality was demonstrated for 𝐻 ∈ (0, 12 ), since in this case the increments of the studied process are not centered and this changes the structure of the asymptotic covariance of auxiliary statistics. This results in series of first order that do not converge for 𝐻 ∈ (12 , 34 ). For the model with a mixture of two different independent fractional Brownian motions with Hurst parameters 𝐻1 and 𝐻2, the ergodicity of the sequence of increments is proved, strictly consistent simultaneous estimators of all unknown parameters of the model at 𝐻1 < 𝐻2 are given, and the conditions of their asymptotic normality and asymptotic normality of auxiliary statistics are stated (0 < 𝐻1 < 𝐻2 < 34 ), and explicit forms for their asymptotic covariance matrices is derived. For each of the investigated models, numerical simulations of the constructed estimators, as well as for the estimates of their asymptotic covariance matrices, was conducted. The presented results confirm the theoretical conclusions, are consistent with the previously obtained results, and also provide additional information about the behavior of the obtained estimates. The thesis is of theoretical nature, and the obtained results contribute to the theory of parameter estimation in errors-in-variables regression models and to the study of models based on mixtures of fractional Brownian motion. The proposed methodology can be used to build more general models of linear regression in the presence of a mixture of errors in variables, to study models of random processes with the properties of long-range and short-range dependencies, as well as to build estimates for more complex models with fractional Brownian motion. Keywords: Linear errors-in-variables model, linear regression, mixture of the classical and Berkson errors, fractional Brownian motion, Hurst index, mixed fractional Brownian motion, stochastic processes, Gaussian process, stationary process, ergodic process, strong consistency, asymptotic normality, asymptotically independent estimators, confidence interval.uaДисертація