Дослiдження узгоджених схем зайнятостi у випадковому середовищi - Браганець, Оксана Анатолiївна (Київський національний університет імені Тараса Шевченка, 2026)
Браганець О. А. Дослiдження узгоджених схем зайнятостi у випадковому середовищi . — Квалiфiкацiйна наукова праця на правах рукопису. Дисертацiя на здобуття наукового ступеня доктора фiлософiї за спецiаль-нiстю 113 — Прикладна математика. – Київський нацiональний унiверситет iменi Тараса Шевченка Мiнiстерства освiти i науки України, Київ, 2026. Дисертацiю присвячено аналiзу узгоджених схем зайнятостi у випадко-вому середовищi, а також розвитку теорiї iтерованих збурених випадкових блукань. Ми дослiджуємо послiдовнiсть узгоджених схем «кулi-в-комiрках» у випадковому середовищi. Комiрки утворюють iєрархiчну вкладену структуру, причому у кожному поколiннi мiститься нескiнченна кiлькiсть комiрок, а ймовiрностi потраплення в них є випадковими i формуються шляхом послiдовної фрагментацiї одиничної маси. Гнедiн та Iксанов (2020) встановили багатовимiрну функцiональну центральну граничну теорему з центруванням для сукупних кiлькостей зайнятих комiрок у початкових поколiннях при зростаннi кiлькостi куль. Ми доводимо аналогiчний результат, у якому центрування не потрiбне, а граничнi процеси не є гаусiвськими. Як застосування, розглядається послiдовнiсть схем зайнятостi, породжена процедурою ламання палицi. Далi ми розглядаємо промiжнi поколiння послiдовностi узгоджених схем зайнятостi у випадковому середовищi, породженому процедурою ламання палицi. А саме, ймовiрностi потраплення у комiрки першого поколiння задаються формулою Pk = W1W2 · . . . · Wk−1(1 − Wk) для k ∈ N, де W1, W2, . . . — незалежнi копiї випадкової величини W , що набуває значень у (0, 1). Нескiнченна схема «кулівкомiрках» у першому поколiннi вiдома як сито Бернуллi. Ми припускаємо, що математичне сподiвання | log W | є нескiнченним, а хвiст розподiлу випадкової величини | log W | правильно змiнюється на нескiнченностi. Позначимо через Kn(j) кiлькiсть зайнятих комiрок у поколiннi j, якщо кинуто n куль. Називатимемо поколiння j промiжними, якщо j = jn → ∞ та jn = o((log n)a) при n → ∞ для вiдповiдного a > 0. Ми доводимо, що для деяких промiжних поколiнь j скiнченнови-мiрнi розподiли процесу (Kn(⌊jnu⌋))u>0 пiсля належної нормалiзацiї слабко збiгаються при n → ∞ до скiнченновимiрних розподiлiв потраекторного iнтеграла Лебега–Стiльтьєса, iнтеграндом якого є експоненцiйна функцiя, а iнтегратором — обернений стiйкий субординатор. Ця частина дисерта-цiї продовжує напрям дослiджень, започаткований у статтях Buraczewski, Dovgay та Iksanov (2020) i Iksanov, Marynych та Samoilenko (2022), де випадкова величина | log W | мала скiнченний другий момент, а також у статтi Iksanov, Marynych та Rashytov (2022), де величина | log W | мала скiнченне математичне сподiвання, але нескiнченний другий момент. Невiд’ємною складовою дослiдження послiдовностей узгоджених схем зайнятостi у випадковому середовищi, породженому процесом ламання палицi, є теорiя iтерованих збурених випадкових блукань. Нехай (ξk, ηk)k≥1 — незалежнi однаково розподiленi випадковi вектори з довiльно залежними додатними компонентами та Tk := ξ1 + . . . + ξk−1 + ηk для k ∈ N. Назива-тимемо випадкову послiдовнiсть (Tk)k≥1 (глобально) збуреним випадковим блуканням. Розглянемо загальний гiллястий процес, породжений послiдов-нiстю (Tk)k≥1, i позначимо через Yj(t) кiлькiсть особин j-го поколiння з моментами народження ≤ t. Припускаючи, що Var ξ1 ∈ (0, ∞), та дозволяючи розподiлу η1 бути довiльним, ми доводимо закон повторного логарифма для Yj(t). Зокрема, отримано закон повторного логарифма для лiчильного процесу випадкової послiдовностi (Tk)k≥1. Останнiй результат був ранiше встановлений у статтi Iksanov, Jedidi та Bouzeffour (2017) за додаткової умови iснування скiнченного моменту Eηa < ∞ для деякого a > 0. У цiй дисертацiї показано, що зазначене додаткове припущення не потрiбне. Ключовi слова: випадкове середовище, закон повторного логарифма, загальний гiллястий процес, збуренi випадковi блукання, iтерованi збуренi випадковi блукання, нескiнченна схема зайнятостi, неперервнiсть за Гьольдером, процес дробового ефекту, процедура ламання палицi, сито Бернуллi, слабка збiжнiсть скiнченновимiрних розподiлiв, слабка збiжнiсть у просторi Скорохода, теорiя вiдновлення, узгодженi схеми зайнятостi у випадковому середовищi, функцiональна гранична теорема.

Braganets O. A. Investigation of nested occupancy schemes in random envi-ronment. — Manuscript. Dissertation for the scientific level of Doctor of Philosophy in specialty 113 – ”Applied Mathematics“. – Taras Shevchenko National University of Kyiv, Mi-nistry of Education and Science of Ukraine, Kyiv, 2026. The thesis is devoted to the analysis of nested occupancy schemes in a random environment and also contributes to a theory of iterated perturbed random walks. We investigate a nested balls-in-boxes scheme in a random environment. The boxes follow a nested hierarchy, with infinitely many boxes in each level, and the hitting probabilities of boxes are random and obtained by iterated fragmentation of a unit mass. Gnedin and Iksanov (2020) obtained a multivariate functional central limit theorem with centering for the cumulative occupancy counts in low levels as the number of balls becomes large. We prove a counterpart of their result, in which centering is not needed and the limit processes are not Gaussian. An application is given to the scheme generated by a residual allocation model. Next, we consider intermediate levels of the scheme generated by a residual allocation model. That is, the hitting probabilities of the first-level boxes are gi-ven by a stick-breaking model Pk = W1W2 · . . . · Wk−1(1 − Wk) for k ∈ N, where W1, W2, . . . are independent copies of a random variable W taking values in (0, 1). The infinite balls-in-boxes scheme in the first level is known as Bernoulli sieve. We assume that the mean of | log W | is infinite and the distribution tail of | log W | is regularly varying at ∞. Denote by Kn(j) the number of occupi-ed boxes in the jth level provided that there are n balls and call the level j intermediate, if j = jn → ∞ and jn = o((log n)a) as n → ∞ for appropriate a > 0. We prove that, for some intermediate levels j, the finite-dimensional di-stributions of the process (Kn(⌊jnu⌋))u>0, properly normalized, converge weakly as n → ∞ to those of a pathwise Lebesgue-Stieltjes integral, with the integrand being an exponential function and the integrator being an inverse stable subordi-nator. The present paper continues the line of investigation initiated in the articles Buraczewski, Dovgay and Iksanov (2020) and Iksanov, Marynych and Samoi-lenko (2022) in which the random variable | log W | has a finite second moment, and Iksanov, Marynych and Rashytov (2022) in which | log W | has a finite mean, yet an infinite second moment. An integral component of the study of the nested occupancy schemes in the random environment generated by the stick-breaking process is a theory of iterated perturbed random walks. Let (ξk, ηk)k≥1 be independent identically distri-buted random vectors with arbitrarily dependent positive components and Tk := ξ1 + . . . + ξk−1 + ηk for k ∈ N. We call the random sequence (Tk)k≥1 a (globally) perturbed random walk. Consider a general branching process generated by (Tk)k≥1 and let Yj(t) denote the number of the jth generation individuals wi-th birth times ≤ t. Assuming that Var ξ1 ∈ (0, ∞) and allowing the distribution of η1 to be arbitrary, we prove a law of the iterated logarithm (LIL) for Yj(t). In particular, a LIL for the counting process of (Tk)k≥1 is obtained. The latter result was previously established in the article Iksanov, Jedidi and Bouzeffour (2017) under the additional assumption that Eηa < ∞ for some a > 0. In this thesis, we show that the aforementioned additional assumption is not needed. Keywords: Bernoulli sieve, functional limit theorem, general branching process, Ho¨lder continuity, infinite occupancy scheme, iterated perturbed random walk, law of the iterated logarithm, nested infinite occupancy scheme in random envi-ronment, perturbed random walk, random environment, renewal theory, residual allocation model, shot noise process, weak convergence in the Skorokhod space, weak convergence of finite-dimensional distributions.
Investigation of nested occupancy schemes in random environment
Keywords: випадкове середовище; закон повторного логарифма; за- гальний гiллястий процес; збуренi випадковi блукання; iтерованi збуренi випадковi блукання; нескiнченна схема зайнятостi; неперервнiсть за Гьоль- дером; процес дробового ефекту; процедура ламання палицi; сито Бернуллi; - 2 - слабка збiжнiсть скiнченновимiрних розподiлiв; слабка збiжнiсть у просторi Скорохода; теорiя вiдновлення; узгодженi схеми зайнятостi у випадковому середовищi; функцiональна гранична теорема.; Bernoulli sieve; functional limit theorem; general branching process; H¨older continuity; infinite occupancy scheme; iterated perturbed random walk; law of the iterated logarithm; nested infinite occupancy scheme in random environment; perturbed random walk; random environment; renewal theory; residual allocation model; shot noise process; weak convergence in the Skorokhod space; weak convergence of finite-dimensional distributions.