Юсипів, ТарасТарасЮсипівЗеленська, ІринаІринаЗеленська2026-02-252026-02-252025-01-25Юсипів, Т., & Зеленська, І. (2025). Парадокси та нескінченність у математиці: між суперечністю й новими моделями реальності. У світі математики, 2, 60-76. https://doi.org/10.17721/1029-4171.2025/2.7УДК 510.3:517.5:51210.17721/1029-4171.2025/2.7https://ir.library.knu.ua/handle/15071834/10632The article is devoted to the analysis of nonclassical and paradoxical aspects of modern mathematics that emerge in situations where conventional logical and arithmetic principles cease to be applicable. A range of conceptual issues is examined, including indeterminate forms, infinite power structures, comparisons of expressions involving exponentiation, and the phenomenology of infinite sets illustrated through Hilbert’s “infinite hotel” paradox. Particular attention is given to methodological approaches for handling divergent series. The study highlights the fundamental differences between finite and infinite operations: upon transitioning to the infinite case, intuitive rules of elementary arithmetic lose their validity, creating “points of rupture” at which new mathematical structures arise. Drawing on historical examples – from Euler and Riemann to Ramanujan and Hilbert – the article demonstrates that the emergence of such contradictions does not undermine the mathematical system; rather, it stimulates the development of novel methods, concepts, and models of reality. The article argues that engagement with the “impossible” constitutes one of the key mechanisms driving the evolution of mathematical thought.Стаття присвячена аналізу некласичних та парадоксальних аспектів сучасної математики, що виникають у ситуаціях, де звичні логічні та арифметичні принципи перестають бути застосовними. Розглянуто низку концептуальних проблем, пов’язаних із невизначеними формами, нескінченними степеневими структурами та порівняннями виразів зі степенями, а також феноменологію нескінченних множин на прикладі парадоксу Гільберта про «нескінченний готель». Особливу увагу приділено методам роботи з розбіжними рядами. У роботі розкриваються принципові відмінності між скінченними й нескінченними операціями: при переході до нескінченності інтуїтивні правила елементарної арифметики втрачають чинність, формуючи «точки розриву», у яких виникають нові математичні структури. На основі історичних прикладів – від Ейлера й Рімана до Рамануджана та Гільберта – показано, що поява таких суперечностей не руйнує математичну систему, а навпаки, стимулює формування нових методів, концепцій і моделей реальності. Стаття демонструє, що саме конфронтація з «неможливим» становить один із ключових механізмів розвитку математичної думки.ukматематичні парадоксидзета-функція Ріманааналітичне продовженнянескінченні операціїнескінченні суминескінченний готель Гільбертаmathematical paradoxesRiemann zeta functionanalytic continuationinfinite operationsdivergent and infinite sumsHilbert’s infinite hotelСтаття