ПОЛІТАНСЬКИЙ, РусланРусланПОЛІТАНСЬКИЙЛЕСІНСЬКИЙ, ВалентинВалентинЛЕСІНСЬКИЙГАЛЮК, СергійСергійГАЛЮККУЛЬКО, АндрійАндрійКУЛЬКО2026-03-172026-03-172025-08-29ПОЛІТАНСЬКИЙ, Р., ЛЕСІНСЬКИЙ, В., ГАЛЮК, С., КУЛЬКО, А. (2025). Methods for determining the equilibrium state of a network with given flows in nodes of information networks of cyber-physical systems. Information systems and technologies security, 1(9), 93–101. https://doi.org/10.17721/ISTS.2025.9.93-10110.17721/ISTS.2025.9.93-101https://ir.library.knu.ua/handle/15071834/12576Background. The multidimensionality of cyberspace and the high level of informatization of critical infrastructure objects, both in Ukraine and globally, pose a threat to humanity at the global level in the foreseeable future. The situation is complicated by the fact that critical infrastructure objects, which operate within a unified information space and support a wide range of modern information technologies, remain vulnerable to new types of threats, despite tremendous efforts to counteract external cyber intrusions.Methods. It has been identified that the study of complex systems employs modern mathematical methods such as topology, graph theory, and linear algebra.Results. The entropic method for analyzing complex systems has found wide application in practical problems related to the study of natural, technical, and cyber-physical systems. This method has long been used to develop efficient systems for coding, encryption, and information protection. With the increase in computational power, the practical value of researching dynamic systems – including those based on entropy – has grown, as entropy serves as a good indicator for selecting certain states of a system from the set of all its possible states.Conclusions. Since the study of structures and general patterns is common across many branches of science and technology, tasks of a general nature – where the specific nature of the system is not taken into account – remain relevant. This study presents an algorithm for determining the state of a multi-node information flow network in which its entropy reaches a maximum value. The algorithm is based on analytical expressions for entropy and its first and second derivatives, derived by the authors and defined on the set of kernel solutions of a system of linear equations to which the original problem is reduced. Experimental results are presented for determining the solution set and solving the optimization problem of finding the state with the maximum entropy value for networks with 3, 4, 5, and 6 nodes. Possibilities for further improvement of the method for calculating more complex networks are analyzed.Вступ. Багатовимірність кіберпростору та високий рівень інформатизації об'єктів критичної інфраструктури як в Україні, так і у світі, становлять загрозу для людства на глобальному рівні на досяжну перспективу. Ситуація ускладнюється тим, що об'єкти критичної інфраструктури, які функціонують в єдиному інформаційному просторі й підтримують широкий спектр сучасних інформаційних технологій, всупереч колосальним зусиллям для протидії стороннім втручанням із кіберпростору та через кіберпростір, й надалі залишаються вразливими до загроз нового типу.Методи. Виявлено, що дослідження складних систем використовують такі сучасні методи математичної науки, як топологія, теорія графів, лінійна алгебра.Результати. Ентропійний метод аналізу складних систем широко застосовують у прикладних задачах дослідження природних, технічних і кіберфізичних систем. Ентропійний метод давно використовують для побудови ефективних систем кодування, шифрування та захисту інформації. У зв'язку із зростанням обчислювальних потужностей збільшилася практична цінність дослідження динамічних систем, зокрема й основаних на ентропії, оскільки ентропія є хорошим показником вибірки деяких станів системи із множини всіх її можливих станів.Висновки. Оскільки дослідження структур і загальних закономірностей зустрічається в багатьох галузях науки і техніки, актуальними є задачі, що мають загальний характер, коли конкретна природа системи не береться до уваги. У цій роботі наведено алгоритм визначення стану багатовузлової мережі інформаційних потоків, у якому її ентропія набуває максимальне значення. Алгоритм основано на виведених авторами роботи аналітичних виразах ентропії, та її перших і других похідних, визначених на множині ядрових розв'язків системи лінійних рівнянь, до якої зводиться вся початкова задача. Наведено експериментальні результати визначення множини розв'язків і розв'язання оптимізаційної задачі пошуку стану з максимальним значенням ентропії для мереж із 3-, 4-, 5- та 6-ма вузлами. Проаналізовано можливості подальшого вдосконалення методу для розрахунку складніших мереж.uksoftware complexnetwork trafficmatricesgraphsentropyHessian matricessubmatrixпрограмний комплексмережний трафікматриціграфиентропіяматриці ГессепідматрицяСтаття