Романенко, ВікторВікторРоманенко0009-0000-1860-496XРоманенко, Олександр ВікторовичОлександр ВікторовичРоманенко0000-0001-7150-1310Лебедєва, Ірина ВалеріївнаІрина ВалеріївнаЛебедєва0009-0000-1860-496X2026-02-252026-02-252024-12-27Романенко, В., Романенко, О., & Лебедєва, І. (2024). Розкладання елементарних функцій у степеневі ряди методами алгебри. У світі математики, 2, 42–50. https://doi.org/10.17721/1029-4171.2024/2.7УДК 510:512.622.86(091)10.17721/1029-4171.2024/2.7https://ir.library.knu.ua/handle/15071834/10607As is well known, power series-based methods are one of the pillars of mathematical analysis. For analytic functions, the power series can be easily obtained from Taylor's theorem in the form of Maclaurin series by calculating the derivatives of these functions at x=0. At the same time, it would be useful to be able to expand functions into series without using the concept of a derivative. Such expansions, in particular, would be helpful in calculating limits, which are fundamental to mathematical analysis. In the work of L. P. Myronenko and O. A. Rubtsova (2013), the idea was proposed that the properties of elementary functions can be used for series expansion, and the first terms of their power series expansions were obtained. In the work of V. I. Romanenko and A. V. Romanenko (2024), a generalization of this approach allowed for obtaining the series terms for sine, cosine, and exponential functions in a general form. In the article presented to the reader, the main results of the cited works are provided in a simplified form, supplemented by deriving a formula for the power series expansion of the tangent function. The presentation is structured in such a way that the core idea and the mathematical derivations are accessible to readers with knowledge of the school curriculum. The possibility of an algebraic approach to function series expansion might explain how the Indian mathematician Madhava (14th–15th century) managed to derive the first few terms of the series expansion for sine, cosine, and arctangent long before function analyses methods in the modern form.Як відомо, методи на основі степеневих рядів – один із стовпів математичного аналізу. Для аналітичних функцій степеневі ряди можуть бути легко отримані з теореми Тейлора у вигляді рядів Маклорена обчислюванням похідних цих функцій при . У той же час було б корисно вміти розкладати функції в ряд, не користуючись поняттям похідної. Зокрема, такі розклади стали б в пригоді при обчисленні границь – основи математичного аналізу. У роботі Л. П. Мироненка і О. А Рубцової (2013) висунута ідея, що для розкладу в ряд елементарних функцій можна використати властивості цих функцій та отримано перші члени їхнього розкладу в степеневий ряд. У роботі В. І. Романенка та О. В. Романенка (2024) узагальнення цього підходу дозволило отримати члени ряду для синуса, косинуса і експоненти у загальному вигляді. У пропонованій читачу статті у спрощеному вигляді подаються основні результати цитованих статей, доповнені виведенням формули для розкладання тангенса у степеневий ряд. Виклад побудовано так, щоб суть ідеї і математичні викладки були зрозумілі читачу зі знанням шкільної програми. Можливість алгебраїчного підходу до розкладання функцій в ряди може бути поясненням того, як саме індійському математику Мадхаві (XIV–XV століття) вдалося отримати перші кілька членів розкладу в ряд для синуса, косинуса і арктангенса задовго до появи методів аналізу функцій у сучасному вигляді.ukстепеневий рядметод невизначених коефіцієнтівелементарні функціїісторія математикиpower seriesmethod of undetermined coefficientselementary functionshistory of mathematicsСтаття