Капустян, ОлексійОлексійКапустян0000-0002-6032-0343Касімова, НінаНінаКасімова0000-0002-4002-8206Собчук, ВалентинВалентинСобчук0000-0002-1456-729XСтанжицький, ОлександрОлександрСтанжицький2026-06-302026-06-302024Капустян, О., Касімова, Н., Собчук, В., Станжицький, О. (2024). The averaging method for the optimal control problem of a parabolic inclusion with fast-oscillating coefficients on a finite time interval. Bulletin of Taras Shevchenko National University of Kyiv. Physics and Mathematics, 79(2), 33–40. https://doi.org/10.17721/1812-5409.2024/2.610.17721/1812-5409.2024/2.6https://ir.library.knu.ua/handle/15071834/25815In this paper we investigate the optimal control problem for a parabolic differential inclusion with rapidly oscillating variables in the finite interval. There are many approaches intended for the investigation of control problems for differential equations and inclusions. Thus, in particular, the asymptotic methods are used fairly extensively. Among these methods, we can especially mention the averaging method, which was mathematically rigorously substantiated by Krylov M.M. and Bogolyubov M.M. The well-known Krasnoselski–Krein theorem and its multi-valued analogue play an essential role for the investigation of the above-mentioned problems. The averaging method was substantiated, in particular, for ordinary differential inclusions, inclusions with partial derivatives, and inclusions with the Hukuhara derivative. When dealing with multi-valued mappings one faces specific problems, such as closedness, convexity of the family of solutions, existence of limit solutions, selection of solutions with given properties, etc. However, the well-developed apparatus of mathematical analysis applied to the study of multi-valued functions makes it possible to apply the averaging method to the optimal control problem described above. Thus, using the averaging method  the convergence of optimal controls and optimal trajectories of solutions of the exact problem to optimal control and the trajectory of the averaged problem is proved in the paper. Pages of the article in the issue: 33 - 40 Language of the article: EnglishДосліджується задача оптимального керування для параболічного диференціального включення зі швидкоколивними змінними на скінченному інтервалі. Існує багато підходів до дослідження задач керування для диференціальних рівнянь і включень. Зокрема, досить часто використовуються асимптотичні методи . Серед них можна окремо виділити метод усереднення, що був строго математично обґрунтований в роботах  Крилова М.М. та Боголюбова М.М. Ключову роль при такому дослідженні грає теорема Красносельського-Крейна, а також її багатозначний аналог. Метод усереднення використовується для звичайних диференціальних включень, а також для включень з частинними похідними і з похідною Хукухара. При цьому багатозначність породжує специфічні проблеми, пов’язані, наприклад,  із замкненістю і опуклістю сім’ї розв’язків, існування граничних розв’язків, виділення розв’язків із заданими властивостями. Проте добре розвинений апарат математичного аналізу застосований до вивчення багатозначних функцій дозволяє застосовувати метод усереднення до згаданих задач оптимального керування. Так, в роботі, використовуючи метод усереднення, доведена збіжність оптимальних керувань та оптимальних траєкторій розв’язків вихідної задачі оптимального керування до оптимальних керувань та оптимальних траєкторій усередненої задачі.enoptimal control problemparabolic differential inclusionaveraging methodrapidly oscillating variablesзадача оптимального керуванняпараболічне диференціальне включенняметод усередненняшвидкоколивні змінніСтаття