Мельник, ІгорІгорМельникПочинок, АлінаАлінаПочинокСкрипка, МихайлоМихайлоСкрипкаДем'янченко, ОльгаОльгаДем'янченко2026-06-302026-06-302025-07-07Мельник, І., Починок, А., Скрипка, М., Дем'янченко, О. (2025). Method of interpolation using root-fractional-rational functions of different orders. Bulletin of Taras Shevchenko National University of Kyiv. Physics and Mathematics, 80(1), 130–138. https://doi.org/10.17721/1812-5409.2025/1.1710.17721/1812-5409.2025/1.17https://ir.library.knu.ua/handle/15071834/25781The possibility of interpolating different kinds of mathematical functions using different order root-fractional-rational functions, namely, second, third, and fourth, is considered in the article. Generally, it is shown that root-fractional-rational functions are given a precision interpolation with a small value of error even for stiff analytical dependences. Root-fractional-rational functions from second to fourth order are considered, and corresponding analytical relations for defining polynomial coefficients in the nominator and the denominator are given. It is also proven that the number of necessary points for interpolation corresponds to the value 2n+1, where n is the order of the root-fractional-rational function. Examples of interpolation of different functions for electrodynamics problems, simulation of magnetic lenses, probability tasks, and fuzzy-logic tasks are given; the error of interpolation for all considered examples is also defined. All presumptions of theoretical analysis are tested and verified using the original elaborated computer software, created using the Python programming language means. In the most considered examples, the resulting error of interpolation is smaller than a few percent. The graphic results of testing the proposed method of interpolation are also given. Pages of the article in the issue: 130 - 138 Language of the article: EnglishРозглянуто можливість інтерполяції різних видів математичних функцій з використанням коренево-дробово-раціональних функцій різного порядку, а саме другого, третього та четвертого. Показано, що коренево-дробово-раціональні функції надають точну інтерполяцію з малою похибкою навіть жорстких аналітичних залежностей. Розглянуто коренево-дробово-раціональні функції від другого до четвертого порядку та наведено відповідні аналітичні співвідношення для визначення поліноміальних коефіцієнтів у чисельнику та знаменнику. Описано аналітичний метод розв'язування системи лінійних алгебраїчних рівнянь для пошуку коефіцієнтів коренево-дробово-раціональних функцій, оснований на відомому методі виключення змінних Гаусса – Зейделя, який відрізняється тим, що аналітичні обчислення проведені ітераційно та, для систематизації поставленої математичної задачі, усі коефіцієнти пронумеровані. Нумерація змінних містить три коефіцієнти: номер ітерації, номер рівняння та номер змінної у цьому рівнянні. Такий систематизований підхід до розв'язування задачі у значній мірі спростив проведення аналітичних розрахунків. Також доведено, що кількість необхідних точок для інтерполяції відповідає значенню 2n+1, де n – порядок коренево-дробово-раціональної функції. Наведено приклади інтерполяції різних функцій для задач електродинаміки, моделювання магнітних лінз, імовірнісних задач і задач нечіткої логіки, а також визначено похибку інтерполяції для всіх розглянутих прикладів. Зокрема, подано результати інтерполяції для розподілу магнітного поля короткої лінзи, для функції помилок erf(x), для експоненціальної функції, для розподілу Бернуллі з різними коефіцієнтами та для П-подібної функції належності. Усі припущення теоретичного аналізу перевірені за допомогою оригінально розробленого програмного забезпечення для ЕОМ, створеного засобами мови програмування Python. Для більшості розглянутих прикладів отримана похибка інтерполяції становить менше кількох відсотків. Наведено також графічні результати тестування, отримані для запропонованого методу інтерполяції.eninterpolationroot-fractional-rational functionelectrodynamic tasksfunctions of probability theoryfuzzy logicmembership functionsінтерполяціякорне-дрібно-раціональна функціязадачі електродинамікифункції теорії ймовірностейнечітка логікафункції належностіСтаття