2025-09-252025-09-252025-09-25https://ir.library.knu.ua/handle/15071834/7803Отримано співвідношення між процесами Кокса-Інгерсолла-Росса і процесами Орнштейна-Уленбека та Бесселя. Досліджено розв'язки диференціальних рівнянь з шумом Вольтерра-Леві. Доведено теореми про властивості ентропій Шеннона, Реньї, Цалліса та Шарма-Міттала. Досліджено задачу побудови критерію згоди для неявних моделей регресії з похибками вимірювання.Встановлено поліноміальну рекурентність для неоднорідних ланцюгів Маркова, яка є ключовою при побудові склеювання різних неоднорідних за часом ланцюгів. Отримано умови стійкості перехідних ймовірностей неоднорідних ланцюгів Маркова у випадку, коли умова міноризації виконується локально і не виконується на всьому просторі. Для одновимірного процесу типу Леві на прямій знайдено достатні умови зворотності, незворотності та ергодичності. Отримано достатні умови ергодичності багатовимірного процесу типу Леві. Побудовано метод апроксимації процесу Леві, методи моделювання функціоналів від процесу та побудови схеми Ейлера для стохастичного рівняння із шумом Леві. Досліджено властивості розв'язків диференціальних рівнянь з частинними похідними з випадковими початковими умовами, встановлено оцінки для розподілів супремумів на обмежених множинах та швидкість росту на необмежених множинах. Побудовано просторово-часові поля на сфері за допомогою рівнянь з узагальненими дробовими операторами, отримано зображення як вигляді полів із випадковим часом. Досліджено узагальнені лічильні процеси з заміною часу субординаторами та оберненими субординаторами. Отримано необхідні та достатні умови існування стаціонарного поля, умови причинності авторегресії першого порядку на площині. Встановлено граничні теореми для нелінійних функціоналів від періодограми для стаціонарних випадкових полів при різних умовах на спектральні щільності. Отримано формули для асимптотичних коваріаційних матриць оцінок параметрів моделей Берксона пуассонівської та логістичної регресії. Для гауссових процесів Вольтерра побудовано конзистентні оцінки параметрів та встановлено їх асимптотичний розподіл. Отримані результати надають широкі можливості для подальших теоретичних досліджень і практичних застосувань в актуарній математиці, в задачах оптимізації, пов’язаних з розробкою алгоритмів глибокого навчання (штучного інтелекту), підвищення якості зображень, моделювання моментів перетину процесом певної межі, у теорії ризику, фінансовій математиці, фізиці.Relations between the Cox-Ingersoll-Ross and reflected Ornstein-Uhlenbeck and Bessel processes were established. Properties of solutions to stochastic differential equations with the Volterra-Levy noise were investigated. Theorems on properties of Shannon, Renyi, Tsallis and Sharma–Mittal entropies were stated. The goodness-of-fit test in the implicit regression model with measurement errors was studied. Polynomial recurrence for inhomogeneous Markov chains is established, which plays a key role in the construction of coupling of different time-inhomogeneous chains. Conditions of stability of transition probabilities of non-homogeneous Markov chains are obtained in the case when the minorization condition is fulfilled locally and is not fulfilled on the whole space. Sufficient conditions are found for a one-dimensional Lévy-type process under which the process will be reversible or irreversible and ergodic. Sufficient conditions of ergodicity of multidimensional Levy type processes were obtained. Methods of approximation of Levy processes and modelling their functionals, and the Euler scheme for stochastic equation with Levy noise were constructed. Properties of solutions to differential equations with random initial conditions have been studied, the estimates for the distributions of suprema on bounded domains and the rate of growth on unbounded domains are stated. Space-time spherical random fields defined by means of differential equations with generalized fractional operators were introduced and studied, their representations as fields with random time-change were given. Generalized counting processes with random time-change by means of subordinators and inverse subordinators were studied. The necessary and sufficient conditions for the existence of a stationary solution to the planar autoregressive first order model are obtained, as well as the conditions for causality of the solution. Limit theorems for nonlinear functionals of periodograms were stated for stationary random fields under various conditions on spectral densities. The explicit formulas for the asymptotic covariance matrices in the Berkson models of Poisson and logistic regressions are obtained. For Gaussian Volterra processes, consistent estimators of the parameters are constructed, and their asymptotic distribution is established. The obtained results can be used for further theoretical research and practical applications in actuarial mathematics, in solving optimization problems related to the development of deep learning algorithms (artificial intelligence), improving the quality of images, modeling moments of crossing a certain boundary by a process, in risk theory, financial mathematics, physics.Фундаментальне дослідження