Скуратовський, Р. В.Р. В.Скуратовський2026-04-082026-04-082020-07-02Skuratovskii, R. (2020). Supersingular Edwards Curves and Edwards Curve Points Counting Method over Finite Field. Journal of Numerical and Applied Mathematics, (1), 68–88. https://doi.org/10.17721/2706-9699.2020.1.06УДК 512.7,519.610.17721/2706-9699.2020.1.06https://ir.library.knu.ua/handle/15071834/14842We consider problem of order counting of algebraic affine and projective curves of Edwards [2, 8] over the finite field $F_{p^n}$. The complexity of the discrete logarithm problem in the group of points of an elliptic curve depends on the order of this curve (ECDLP) [4, 20] depends on the order of this curve [10]. We research Edwards algebraic curves over a finite field, which are one of the most promising supports of sets of points which are used for fast group operations [1]. We construct a new method for counting the order of an Edwards curve over a finite field. It should be noted that this method canbe applied to the order of elliptic curves due to the birational equivalence between elliptic curves and Edwards curves. We not only find a specific set of coefficients with corresponding field characteristicsfor which these curves are supersingular, but we additionally find a general formula by which one can determine whether a curve $E_d [F_p]$ is supersingular over this field or not. The embedding degree of the supersingular curve of Edwards over $F_{p^n}$ in a finite field is investigated and the field characteristic, where this degree is minimal, is found. A birational isomorphism between the Montgomery curve and the Edwards curve is also constructed. A one-to-one correspondence between the Edwards supersingular curves and Montgomery supersingular curves is established. The criterion of supersingularity for Edwards curves is found over $F_{p^n}$.Рассматриваются алгебраические аффинные и проективные кривые Эдвардса [2, 8] над конечным полем $F_{p^n}$. Сложность проблемы дискретного логарифма в группе точек эллиптической кривой (ECDLP) [4] зависит от порядка этой кривой [10]. Известно, что многие современные криптосистемы [10] могут быть естественным образом построены на эллиптические кривых [4]. Мы исследуем алгебраические кривые Эдвардса над конечным полем, которые являются одним из наиболее многообещающих носителей множеств точек, использующихся для быстрых групповых операций [1]. Нами построен новый метод подсчета порядка кривой Эдвардса над конечным полем. Следует отметить, что этот метод может быть применен к определению порядка эллиптических кривых из-за бирациональной эквивалентности между эллиптическими кривыми и кривыми Эдвардса. Мы не только находим набор коэффициентов с соответствующими характеристиками поля, для которых эти кривые являются суперсингулярными, мы также дополнительно находим общую формулу, по которой можно определить, является ли кривая $E_d [F_p]$ суперсингулярной над этим полем или нет. Таким образом необходимые и достаточные условия суперсингулярности найдены. В статье исследована степень вложения суперсингулярной кривой Эдвардса над $F_{p^n}$ в конечное поле. Также найдена характеристика поля, где эта степень минимальна. В статье найден критерий суперсингулярности кривой Эдвардса над $F_{p^n}$. Установлено взаимнооднозначное соответствие между суперсингулярными кривыми Эдвардса и суперсингулярными кривыми Монтгомери. Построен бирациональный изоморфизм между кривой Монтгомери и кривой Эдвардса. Указаны образы специальных точек, полученных при бирациональном изоморфизме, кривой Эдвардса на сферу Римана.Ми розглядаємо алгебраїчнi аффiннi i проективнi кривi Едвардса [2, 8] над скiнченним полем $F_{p^n}$. Складнiсть проблеми дискретного логарифму в групi точок елiптичної кривої (ECDLP) [4] залежить вiд порядку цiєї кривої [10]. Дослiджуємо алгебраїчнi кривi Едвардса над скiнченним полем, якi є одним з найбiльш преспективних носiїв множин точок, якi використовуються для швидких групових операцiй [1]. Будуємо новий метод пiдрахунку порядку кривої Едвардса над скiнченним полем. Слiд зазначити, що цей метод може бути застосований до визначення порядку елiптичних кривих через бiрацiональнi еквiвалентностi мiж елiптичними кривими i кривими Едвардса. Ми не тiльки знаходимо набiр коефiцiєнтiв з вiдповiдними характеристиками поля, для яких цi кривi є суперсингулярними, ми також додатково знаходимо загальну формулу, згiдно з якою можна визначити, чи є крива $E_d [F_p]$ суперсингулярною над цим полем чи нi. Дослiджується ступiнь вкладення суперсингулярної кривої Едвардса над $F_{p^n}$ в скiнченне поле. Також знайдена характеристика поля, де цей ступiнь мiнiмальний. У статтi знайдено критерiй суперсингулярностi кривої Едвардса над $F_{p^n}$. Встановлено взаємно-однозначна вiдповiднiсть мiж суперсингулярними кривими Едвардса i суперсингулярними кривими Монтгомерi. Побудований бiрацiональних iзоморфiзм мiж кривою Монтгомерi та кривою Едвардса. Вказанi образи спецiальних точок кривої Едвардса на сферi Рiмана при бiрацiональному iзоморфiзмi.enfinite fieldelliptic curveEdwards curvegroup of points of an elliptic curveскiнченне полеелiптична кривакрива Едвардсагрупа точок на елiптичнiй кривiйконечное полеэллиптическая криваякривая Эдвардсагруппа точек на эллиптической кривойСтаття