Рець, В. О.В. О.Рець2026-06-302026-06-302023-12-23Рець, В. О. (2023). Solution of the traveling salesman problem based on the annealing method with the fuzziness of the time perception. Bulletin of Taras Shevchenko National University of Kyiv. Physics and Mathematics(2), 226–231. https://doi.org/10.17721/1812-5409.2023/2.3910.17721/1812-5409.2023/2.39https://ir.library.knu.ua/handle/15071834/25919This paper investigates the use of fuzzy numbers and the annealing method to improve the results of the traveling salesman problem (TSP) by more accurately representing real-world circumstances, where the value of the objective function represents the subjective perception of the length of the time interval required to travel between cities. TSP is a classic combinatorial optimization problem that involves finding the shortest route between a set of cities. Fuzzy numbers are used to model input inaccuracy and uncertainty, as they allow for a more detailed representation of real-world constraints and factors that may affect the problem. The annealing method is used to optimize the TSP solution by gradually decreasing the temperature of the system, which allows exploring different solutions and avoiding getting stuck in local minima. To demonstrate the effectiveness of this approach, a Python program was developed that was used to compare the results of the TSP problem using crisp and fuzzy numbers using the annealing method. The results show that the use of fuzzy numbers, particularly triangular and parabolic, with the annealing method leads to a significant improvement in the results of the TSP problem compared to the use of crisp numbers, assuming a model is called realistic if it has possible deviations from the expected fixed mean. Computational results of the program are presented and analyzed, demonstrating the potential of this approach for real-world optimization problems involving imprecise or uncertain data and which can be particularly applied to the optimization of processes with subjective time perception. Pages of the article in the issue: 226 - 231 Language of the article: UkrainianУ статті досліджується використання нечітких чисел і методу відпалу для пошуку розв’язків задачі комівояжера з урахуванням суб’єктивного сприйняття плину часу в реальних умовах руху, що дозволяє сформулювати нечітку оптимізаційну задачу для знаходження найкращого значення цільової функції, яка визначається величиною необхідного для подорожі між містами часу. Задача комівояжера (traveling salesman problem, TSP) — це класична задача комбінаторної оптимізації, яка передбачає пошук найкоротшого або найбільш швидкого маршруту між набором міст. Для формалізації невизначеності та неточності вхідних даних, пов’язаної з впливом суб’єктивності в оцінках тривалості необхідних проміжків часу, використовуються нечіткі числа. Їх застосування обумовлено можливістю конструктивного формулювання обмежень реального світу та факторів, які можуть вплинути на результат розв’язування задачі. Розглянуто метод відпалу для оптимізації розв’язків задачі комівояжера шляхом поступового зниження енергії системи, що дозволяє досліджувати різні розв’язки та уникати локальних мінімумів. Отримано результати, які підтвердили ефективність цього підходу. Розроблено програму, яка використовувалася для порівняння результатів задачі комівояжера з використанням чітких і нечітких чисел на основі методу відпалу. Отримано висновок, який свідчить, що використання нечітких чисел, зокрема трикутних та параболічних, із методом відпалу призводить до покращення результатів задачі порівняно з використанням чітких чисел за умов припущення реалістичності моделі з можливими відхиленнями від очікуваного фіксованого середнього. Представлено та проаналізовано результати обчислень програми, що демонструє потенціал цього підходу для реальних оптимізаційних процесів з використанням неточних або невизначених даних та врахуванням суб’єктивних оцінок в параметрах, зокрема, при вимірюванні швидкості плину часу.entraveling salesman problemfuzzy numberssimulated annealingcombinatorial optimizationsubjective perception of timeimprecisionuncertaintyзадача комівояжеранечіткі числаметод відпалукомбінаторна оптимізаціясуб'єктивне сприйняття плину часунеточністьневизначеністьСтаття