Юсипів, ВасильВасильЮсипів0000-0003-2798-9472Юсипів, Тарас ВасильовичТарас ВасильовичЮсипів0000-0003-2798-94722026-02-252026-02-252025-10-03Юсипів, В., & Юсипів, Т. (2025). Метод нескінченного спуску, метод Чакравала та числа Пелля. У світі математики, 1, 99–108. https://doi.org/10.17721/1029-4171.2025/1.8УДК 511.510.17721/1029-4171.2025/1.8https://ir.library.knu.ua/handle/15071834/10620The method of infinite descent is an elegant tool for proving the impossibility of certain solutions by using the logic of reducing parameters to an absurdity. The method was first clearly formulated and used by Pierre de Fermat in the 17th century, although ideas similar to this method may have appeared in mathematics earlier in a less formalized form. Fermat applied this method in his works on number theory, particularly to prove statements related to Diophantine equations. This method remains relevant today, aiding in the solution of complex Diophantine equations. The chakravala method, developed by Indian mathematicians and described by Brahmagupta and Bhaskara, is a powerful algorithm for finding integer solutions to Pell's equations. This cyclic approach iteratively “folds” solution triples, efficiently approximating irrational numbers with rational fractions. Its simplicity and versatility outshine some modern techniques, like Lagrange’s method, and it finds applications in cryptography, combinatorics, and number theory, highlighting the profound contributions of Indian mathematics to global science. Pell numbers and their associated equations are central to number theory, particularly in solving Diophantine equations of the form , and are closely tied to continued fractions.Метод нескінченного спуску є елегантним інструментом для доведення неможливості певних розв’язків, використовуючи логіку зменшення параметрів до абсурду. Метод вперше був чітко сформульований і використаний П’єром де Ферма у XVII столітті, хоча ідеї, схожі на цей метод, могли з’явитися в математиці раніше в менш формалізованому вигляді. Ферма застосував цей метод у своїх працях з теорії чисел для доведення тверджень, пов’язаних із діофантовими рівняннями, і зокрема – Великої теореми Ферма[1]. Цей метод і зараз залишається актуальним, допомагаючи розв’язувати складні діофантові рівняння. У той же час, метод чакравала, розроблений індійськими математиками та описаний Брахмагуптою та Бхаскарою, є потужним алгоритмом для знаходження цілочисельних розв’язків рівняння Пелля, що є відомим діофантовим рівнянням. Цей циклічний метод базується на послідовному «згортанні» трійок знайдених розв’язків і має на меті ефективно наближати ірраціональні числа раціональними дробами. Завдяки своїй простоті та універсальності метод чакравала перевершує за ефективністю деякі сучасні підходи, такі як метод Лагранжа, і знаходить застосування в криптографії, комбінаториці та теорії чисел. Числа Пелля та відповідні рівняння Пелля відіграють ключову роль у теорії чисел, зокрема при розв’язуванні діофантових рівнянь виду  та мають зв’язок з ланцюговими дробами.   [1] Наразі достеменно невідомо, чи мав Ферма математично завершене доведення Великої теореми.ukметод нескінченного спускуметод Чакраваларівняння Пеллядіофантове рівняннядіофантові наближенняірраціональні числаmethod of infinite descentchakravala methodPell’s equationDiophantine equationDiophantine approximationirrational numbersСтаття