Слабоспицький, ОлександрОлександрСлабоспицький2026-06-302026-06-302024Слабоспицький, О. (2024). Recurrent algorithm for non-stationary parameter estimation by least squares method with least deviations from attraction points for non-linear dynamic systems under non-classical assumptions. Bulletin of Taras Shevchenko National University of Kyiv. Physics and Mathematics, 79(2), 59–64. https://doi.org/10.17721/1812-5409.2024/2.1010.17721/1812-5409.2024/2.10https://ir.library.knu.ua/handle/15071834/25821For discrete non-linear dynamic systems, the problem of optimal estimation of non-stationary parameters that can slowly change over time is considered. The method of least squares with a variable forgetting factor is used to estimate the unknown parameters of the above-mentioned objects. The situation is considered when the classical assumptions that guarantee the uniqueness of this estimate may be violated. In previous publications, the estimate that has the smallest euclidean norm, i.e. the smallest deviation from the zero vector, was analyzed as a unique estimate on the set of all such estimates. Explicit and recurrent forms of representation were obtained for it. A recurrent procedure for calculating the value of the corresponding residual sum of squares was also proposed. In this paper, on the set of all optimal estimates, the estimate that has the least deviation from the given attraction points at each moment of time was taken as a unique estimate. An explicit form of representation through the Moore-Penrose pseudo-inversion operator is given for this estimate. A convenient recurrent form of representation for it is also obtained, which allows to speed up the calculation process, because it no longer requires the use of either the Moore-Penrose matrix pseudo-inversion operation, or even the usual matrix inversion operation. The presented recurrent algorithm for the corresponding weighted residual sum of squares will be useful for quality control of the obtained mathematical model. The proposed recurrent procedures for recalculating the optimal estimate of non-stationary parameters with the least deviation from the given attraction points and the weighted residual sum of squares will allow to significantly speed up the process of estimating non-stationary parameters in the on-line mode for discrete nonlinear dynamic systems in case of possible violation of classical assumptions and avoid the need to calculate Moore-Penrose pseudo-inverse matrices. Pages of the article in the issue: 59 - 64 Language of the article: UkrainianДля дискретних нелінійних динамічних систем розглядається задача оптимального оцінювання нестаціонарних параметрів, які можуть повільно змінюються з часом. Для оцінювання невідомих параметрів вищезгаданих об'єктів використовується метод найменших квадратів зі змінним фактором забування. Розглядається ситуація, коли можуть бути порушені класичні припущення, які гарантують єдиність цієї оцінки. У попередніх публікаціях в якості єдиної оцінки на множині усіх таких оцінок  аналізувалася оцінка, яка має найменшу евклідову норму, тобто найменше відхилення від нульового вектора. Для неї були отримані явна та рекурентна форми представлення. Також була запропонована рекурентна процедура обчислення значення відповідної залишкової суми квадратів. У даній статті на множині усіх оптимальних оцінок у якості єдиної оцінки було взято оцінку, яка має найменше відхилення від заданих точок тяжіння у кожен момент часу.  Для цієї оцінки наведена явна форма представлення через оператор псевдообернення за Муром-Пенроузом. Також отримана зручна рекурентна форма представлення для неї, яка дозволяє прискорити процес обчислення, бо вона вже не вимагає використання ні операції псевдообернення матриць за Муром-Пенроузом, ні навіть операції звичайного обернення матриць. Представлений рекурентний алгоритм для відповідної зваженої залишкової суми квадратів  буде корисним для контролю якості отриманої математичної моделі. Запропоновані рекурентні процедури перерахунку оптимальної оцінки нестаціонарних параметрів з найменшим відхиленням від заданих точок тяжіння та зваженої залишкової суми квадратів дозволять суттєво прискорити процес оцінювання нестаціонарних параметрів у режимі on-line для дискретних нелінійних динамічних систем при можливому порушенні класичних припущень  та уникнути необхідності обчислення псевдообернених матриць за Муром-Пенроузом.endiscrete-time non-linear dynamic systemrecurrent time-varying parameter estimationnon-classical assumptionsattraction pointsMoore – Penrose pseudo-inversion operatorleast squares method with variable forgetting factorweighted residual sum of squaresдискретна нелінійна динамічна системарекурентне оцінювання нестаціонарних параметрівнекласичні припущенняточки тяжінняоператор псевдообернення за Муром-Пенроузомметод найменших квадратів зі змінним фактором забуваннязважена залишкова сума квадратів.Стаття