Кудін, ВолодимирВолодимирКудінОноцький, В'ячеславВ'ячеславОноцький2026-06-302026-06-302026-06-05Кудін, В., Оноцький, В. (2026). Analysis of linear systems with complex elements by the basis matrix method. Bulletin of Taras Shevchenko National University of Kyiv. Physics and Mathematics, 82(1), 2218–2055. https://doi.org/10.17721/1812-5409.2026/1.710.17721/1812-5409.2026/1.7https://ir.library.knu.ua/handle/15071834/26004This work proposes the application of the mathematical framework of complex variable function theory (specifically, for linear systems with complex elements) to describe the mechanism of interaction between components in a system ("model" – "researcher") during the process of mathematical modeling. The method of basis matrices is extended to linear systems with complex elements. An algorithm and computational procedure are developed for analyzing the properties and solving such systems, taking into account the interaction mechanism between the real and imaginary components in the representation of the mathematical model. A computational experiment is conducted to verify the correctness of the proposed algorithm and computational procedure. The object of the study is processes of various natures in the context of solving the problem of mathematical modeling. The subject of the study is methods, algorithms, and computational procedures of mathematical modeling, particularly the mathematical apparatus of complex variable function theory and linear algebra. Research Objective: to develop algorithms and computational procedures for analyzing the properties of two-component mathematical models of processes (with complex elements), capable of accounting for the researcher's activity in the problem-solving process. Research Tasks: to analyze known approaches to solving computational problems while considering the "activity" of the human analyst, operations researcher, or decision-maker; to identify basic mathematical methods in the class of linear systems that incorporate the ability to account for (human) activity in the problem-solving process; to develop computational procedures and algorithms adapted to modeling tasks (at various stages) for comprehensive analysis of linear systems (two-component systems), with a component accounting for human activity; to conduct a computational experiment based on the proposed method, algorithm, and procedure to verify their correctness on model examples; to analyze and summarize the experimental results and outline prospects for further research. The mathematical modeling procedure involves a series of sequential stages (with feedback). Unfortunately, the unavoidable issue of the adequacy of the mathematical model in representing the studied process remains a challenge in solving applied problems. It is well known that modeling problems are expressed using mathematical tools of varying complexity and are often simplified (reduced) to linear models. This includes the discretization of continuous problems and the linearization of nonlinear ones. It should be noted that the modeling process does not explicitly account for the influence of the researcher's experience, i. e., the human factor, on the quality of the modeling process at all stages. In fact, the two-component structure of the problem ("explicit" component – the mathematical model, and "implicit" – the researcher within the modeling loop) can be "traced". This underscores the relevance of developing new mathematical problem formulations for modeling with complex elements (two-component systems), in which mechanisms are embedded to account for the researcher's experience in achieving greater adequacy of the model to the studied process at various problem-solving stages. Pages of the article in the issue: 55 - 62 Language of the article: EnglishЗапропоновано застосування математичного апарату теорії функції комплексної змінної (в частині лінійних систем із комплексними елементами) для опису механізму взаємодії компонент у системі ("модель" – "дослідник") у процесі математичного моделювання. Розвинено метод базисних матриць до лінійних систем із комплексними елементами. Розроблено алгоритм й обчислювальну процедуру аналізу властивостей і розв'язання з урахуванням механізму взаємодії дійсної та уявної складових компонент у поданні математичної моделі. Проведено обчислювальний експеримент з перевірки коректності роботи запропонованого алгоритму й обчислювальної процедури. Об'єктом дослідження є процеси різної природи в контексті розв'язання задачі математичного моделювання. Предмет дослідження – методи, алгоритми й обчислювальні процедури математичного моделювання, зокрема, математичний апарат теорії функції комплексної змінної, лінійної алгебри. Мета дослідження: розробити алгоритми й обчислювальні процедури аналізу властивостей двох компонентних математичних моделей процесів (з комплексними елементами) зі здатністю враховувати активність дослідника в процесі розв'язання задачі. Завдання дослідження: провести аналіз відомих підходів до розв'язання обчислювальних задач з урахуванням "активності" людини як аналітика, дослідника операцій, особи, яка ухвалює рішення тощо; виявити базові математичні методи в класі лінійних систем, у яких закладено здатність ураховувати (й активність) людини в процесі розв'язання задачі; розробити адаптовані під задачі моделювання (на різних етапах) обчислювальні процедури й алгоритми комплексного аналізу лінійних систем (двокомпонентних систем), зі складовою врахування активності людини; провести обчислювальний експеримент на основі запропонованого методу, алгоритму та процедури з перевірки їхньої коректності "роботи" на модельних прикладах; зробити аналіз і сформувати висновки за результатами експериментів та окреслити перспективи подальших досліджень. У процедурі математичного моделювання закладено проведення ряду послідовних етапів (з оберненим зв'язком). І, на жаль, неусувна проблема адекватності математичної моделі подання досліджуваному процесу є супутником розв'язання прикладних задач. Як відомо, задачі моделювання подаються математичним апаратом різної складності і часто "приводяться" (спрощуються) зведенням до лінійних моделей, зокрема, здійснюється дискретизація неперервних і лінеаризація нелінійних задач. Варто зазначити, що в процесі моделювання не закладено у явному вигляді врахування впливу досвіду дослідника, тобто людського фактору, на якість процесу моделювання на всіх етапах. Де-факто, двокомпонентність структури задачі ("явна" складова – математична модель та "неявна" – дослідник у контурі моделювання) "простежується". Це обумовлює актуальність розроблення нових математичних постановок задач моделювання з комплексними елементами (двокомпонентних систем), у яких закладено механізми врахування досвіду дослідника щодо досягнення більшої адекватності моделі досліджуваному процесу під час розв'язання задачі на різних етапах.ensystem of linear algebraic equationsbasis matrix methodcomplex analysisсистема лінійних алгебраїчних рівняньметод базисних матрицькомплексний аналізСтаття