Namgalauri, E. B.E. B.NamgalauriPurtukhia, O. G.O. G.Purtukhia2026-04-082026-04-082022-08-02Namgalauri, E. B., Purtukhia, O. G. (2022). DIFFERENT APPROACHES IN THE CONSTRUCTIVE MARTINGALE REPRESENTATION OF BROWNIAN FUNCTIONALS. Journal of Numerical and Applied Mathematics(1), 35–45. https://doi.org/10.17721/2706-9699.2022.1.0310.17721/2706-9699.2022.1.03https://ir.library.knu.ua/handle/15071834/14750In this work, we study the issues of a constructive stochastic integral representation of Brownian functionals, which are interesting from the point of view of their practical application in the problem of hedging a European option. In addition to briefly discussing known results in this direction, in the case of stochastically smooth (in Malliavin sense) functionals, we also illustrate the usefulness of the Glonti–Purtukhia representation for non-smooth functionals. In particular, we generalize the Clarke–Ocone formula to the case when the functional is not stochastically smooth, but its conditional mathematical expectation is stochastically differentiable, and find an explicit expression for the integrand. Moreover, we consider such functionals that do not satisfy even weakened conditions, that is, non-smooth, past-dependent Brownian functionals, the conditional mathematical expectations of which are also not stochastically differentiable, and again we give a constructive martingale representation.У цiй роботi дослiджуються питання конструктивного стохастичного iнтегрального зображення броунiвських функцiоналiв, цiкавi з погляду їх практичного застосування в задачi хеджування європейського опцiону. Крiм короткого обговорення вiдомих результатiв у цьому напрямку, у разi стохастично гладких (у сенсi Маллявена) функцiоналiв, ми також проiлюструємо кориснiсть зображення Глонтi–Пуртухiї для негладких функцiоналiв. Зокрема, ми узагальнюємо формулу Кларка–Оконе на випадок, коли функцiонал не є стохастично гладким, але його умовне математичне сподiвання стохастично диференцiйовне i знаходимо явний вираз для пiдiнтегральної функцiї. Бiльш того, ми розглядаємо такi функцiонали, якi не задовольняють навiть ослабленим умовам, тобто негладкi, броунiвськi функцiонали, що залежать вiд траєкторiї, умовнi математичнi сподiвання яких також не є стохастично диференцiйовними, i знову даємо конструктивне мартингальне зображення.enmartingale representationMalliavin derivativeClark– Ocone formulaGlonti–Purtukhia representationмартингальне зображенняпохiдна Маллявенаформула Кларка–Оконазображення Глонтi–ПуртухiїСтаття