Лахва, Роксолана СтепанiвнаРоксолана СтепанiвнаЛахваСтанжицький, Олександр Миколайович2026-04-292026-04-292026-04-06Лахва Р. С. Задачi оптимального керування системами iнтегро-диференцiальних рiвнянь : дис. ... доктора фiлософiї : 111 Математика. Київ, 2026. 145 с.УДК 517.9https://ir.library.knu.ua/handle/15071834/18621Лахва Р. С. Задачi оптимального керування системами iнтегро-диференцiальних рiвнянь. — Квалiфiкацiйна наукова праця на правах рукопису. Дисертацiя на здобуття наукового ступеня доктора фiлософiї за спецiаль- нiстю 111 — Математика. — Київський нацiональний унiверситет iменi Тараса Шевченка, Мiнiстерство освiти i науки України, Київ, 2026. Дисертацiйна робота присвячена дослiдженню задач оптимального керування для деяких класiв iнтегро-диференцiальних систем типу Вольтерри. Такi системи природно виникають при математичному моделюваннi широкого ко- ла процесiв, де поточний стан залежить вiд iнтегрального впливу попереднiх моментiв часу. Моделi цього типу застосовують у бiологiї, економiцi, термодинамiцi, хiмiчнiй кiнетицi, флюїднiй динамiцi та iнших галузях. Актуальнiсть теми зумовлена необхiднiстю розвитку методiв оптимального керування для iнтегро- диференцiальних систем, якi розширюють класичнi пiдходи теорiї керування на бiльш загальнi еволюцiйнi моделi. Розвиток методiв оптимального керування для iнтегро-диференцiальних систем має важливе теоретичне та прикладне значення. У теоретичному аспектi це пов’язано з необхiднiстю узагальнення класичних принципiв оптимальностi, зокрема принципу максимуму Понтрягiна та методу динамiчного програмування Беллмана, на ширшi класи систем з iнтегральними залежностями. У прикладному аспектi це пов’язано з потребою розробки ефективних алгоритмiв керування складними динамiчними об’єктами, що описуються рiвняннями Вольтерри. Важливим напрямом сучасних дослiджень є встановлення умов iснування оптимальних керувань i розроблення методiв аналiзу збiжностi оптимальних розв’язкiв. Застосування методу усереднення у задачах оптимального керування дозволяє замiнити вихiдну задачу простiшою усередненою моделлю, що полегшує аналiтичне та чисельне дослiдження. Попри значний прогрес у цьому напрямi, питання iснування оптимального керування для iнтегро-диференцiальних систем типу Вольтерри, а також обґрунтування збiжностi оптимальних керувань i траєкторiй при застосуваннi методу усереднення залишаються вiдкритими й потребують подальших дослiджень. У дисертацiйнiй роботi отримано новi результати, що стосуються iснування оптимального керування для iнтегро-диференцiальних систем типу Вольтерри. Зокрема, вперше встановлено достатнi умови iснування оптимального керування для iнтегро-диференцiальних систем у термiнах правих частин рiвнянь та критерiю якостi на скiнченному iнтервалi. Такий пiдхiд дозволив узагальнити вiдомi результати для звичайних диференцiальних систем та поширити їх на випадок iнтегро-диференцiальних рiвнянь. Доведено теорему iснування розв’язку задачi Кошi для iнтегро-диференцiальних систем, аналогiчну теоремi Каратеодорi для звичайних диференцiальних рiвнянь. Встановлено узгодженiсть мiж задачами оптимального керування на скiнченному та нескiнченному iнтервалах, доведено слабку збiжнiсть оптимальних керувань i точкову збiжнiсть вiдповiдних оптимальних траєкторiй, що дає змогу обґрунтувати граничний перехiд вiд задач iз скiнченним до нескiнченного горизонту керування. Окрему увагу придiлено застосуванню методу усереднення до задач оптимального керування iнтегро-диференцiальними системами у лiнiйному та нелiнiйному випадках вiдносно керування. У роботi обґрунтовано збiжнiсть розв’язкiв вихiдної задачi до розв’язкiв вiдповiдної усередненої системи, показано, що оптимальне керування усередненої задачi є асимптотично оптимальним для точної системи. Крiм того, встановлено зв’язок мiж точною задачею оптимального керування на пiвосi та вiдповiдною усередненою задачею на скiнченному iнтервалi, що дозволило обґрунтувати асимптотичну близькiсть оптимальних розв’язкiв при прямуваннi довжини iнтервалу до нескiнченностi й поглибити розумiння асимптотичних властивостей систем з малими параметрами. Отриманi результати можуть бути використанi для аналiзу, моделювання та оптимiзацiї процесiв, що описуються iнтегро-диференцiальними рiвняннями типу Вольтерри, а також для розроблення ефективних методiв дослiдження систем оптимального керування з iнтегральними залежностями. Данi дослiдження поглиблюють теорiю оптимального керування для iнтегро-диференцiальних систем i можуть бути використанi при моделюваннi, аналiзi керованостi та стабiлiзацiї еволюцiйних процесiв у природничих i технiчних науках. Ключовi слова: Iнтегро-диференцiальнi рiвняння, оптимальне керування, оптимальна траєкторiя, критерiй якостi, абсолютна неперервнiсть, метод усереднення, диференцiальнi рiвняння, задача Кошi, малий параметр, слабка збiжнiсть, швидкоосцилюючi параметри.Lakhva, R.S. Optimal сontrol problems of systems of integro-differential equations. — Qualifying scientific work on the rights of the manuscript. Doctor of Philosophy thesis undertaken in specialty 111 — Mathematics — Taras Shevchenko National University of Kyiv, Ministry of Education and Science of Ukraine, Kyiv, 2026. The dissertation is devoted to the study of optimal control problems for certain classes of Volterra-type integro-differential systems. Such systems naturally arise in the mathematical modeling of a wide range of processes where the current state depends on the integral influence of previous moments in time. Models of this type are applied in biology, economics, thermodynamics, chemical kinetics, fluid dynamics, and other fields. The relevance of the topic is conditioned by the need to develop optimal control methods for integro-differential systems, which extend classical control theory approaches to more general evolutionary models. The development of optimal control methods for integro-differential systems is of significant theoretical and practical importance. Theoretically, it is associated with the necessity of generalizing classical optimality principles, particularly the Pontryagin Maximum Principle and the Bellman dynamic programming method, to broader classes of systems with integral dependencies. Practically, it addresses the need for developing effective control algorithms for complex dynamical objects described by Volterra equations. A vital direction of modern research is the establishment of existence conditions for optimal controls and the development of methods for analyzing the convergence of optimal solutions. The application of the averaging method in optimal control problems allows for the replacement of the original problem with a simpler averaged model, facilitating both analytical and numerical investigation. Despite significant progress in this field, questions regarding the existence of optimal control for Volterra-type integro-differential systems, as well as the justification of the convergence of optimal controls and trajectories when applying the averaging method, remain open and require further research. The dissertation presents new results concerning the existence of optimal control for Volterra-type integro-differential systems. In particular, sufficient conditions for the existence of optimal control for integro-differential systems are established for the first time in terms of the right-hand sides of the equations and the quality criterion on a finite interval. This approach allowed for the generalization of known results for ordinary differential systems and their extension to the case of integro-differential equations. A theorem on the existence of a solution to the Cauchy problem for integro-differential systems, analogous to the Carath?odory theorem for ordinary differential equations, is proven. Consistency between optimal control problems on finite and infinite intervals is established; the weak convergence of optimal controls and the pointwise convergence of the corresponding optimal trajectories are proved, enabling the justification of the limit transition from problems with a finite horizon to an infinite control horizon. Special attention is paid to the application of the averaging method to optimal control problems for integro-differential systems in both linear and nonlinear cases with respect to control. The work justifies the convergence of the solutions of the original problem to the solutions of the corresponding averaged system, demonstrating that the optimal control of the averaged problem is asymptotically optimal for the exact system. Furthermore, a connection is established between the exact optimal control problem on the semi-axis and the corresponding averaged problem on a finite interval, which allowed for the justification of the asymptotic proximity of optimal solutions as the interval length tends to infinity and deepened the understanding of the asymptotic properties of systems with small parameters. The obtained results can be used for the analysis, modeling, and optimization of processes described by Volterra-type integro-differential equations, as well as for developing effective research methods for optimal control systems with integral dependencies. These studies deepen the theory of optimal control for integro- differential systems and can be utilized in modeling, controllability analysis, and stabilization of evolutionary processes in the natural and technical sciences. Keywords: integro-differential equations, optimal control, optimal trajectory, cost function, absolute continuity, averaging method, differential equations, Cauchy problem, small parameter, weak convergence, rapidly oscillating coefficients.ukIнтегро-диференцiальнi рiвнянняоптимальне керуванняоптимальна траєкторiякритерiй якостiабсолютна неперервнiстьметод усе- редненнядиференцiальнi рiвняннязадача Кошiмалий параметрслабка збi- жнiстьшвидкоосцилюючi параметри.integro-differential equationsoptimal controloptimal trajectorycost functionabsolute continuityaveraging methoddifferential equationsCauchy problemsmall parameterweak convergencerapidly oscillating coefficients.Дисертація