Сердюк, Марiя ВiкторiвнаМарiя ВiкторiвнаСердюкШевчук, Ігор ОлександровичАнтонюк, Олександра Вікторівна2026-01-282026-01-282025Сердюк М. В. Псевдодиференцiальнi рiвняння з виродженням для радiальних функцiй 𝑝–адичного аргументу : дис. ... доктора фiлософiї : 111 - математика. Київ, 2025. 117 с.УДК 517.9https://ir.library.knu.ua/handle/15071834/9961Сердюк М. В. Псевдодиференцiальнi рiвняння з виродженням для радiальних функцiй 𝑝–адичного аргументу. — Квалiфiкацiйна наукова праця на правах рукопису. Дисертацiя на здобуття наукового ступеня доктора фiлософiї за спецiальнiстю 111 Математика. — Київський нацiональний унiверситет iменi Тараса Шевченка, Мiнiстерство освiти i науки України, Київ, 2025. Дисертацiйна робота присвячена дослiдженню питань про iснування та єдинiсть, а також певнi властивостi розв’язкiв псевдодиферецiальних рiвнянь з оператором дробового диференцiювання на неархiмедовому полi 𝑝–адичних чисел, якi можуть розумiтися як аналог звичайних диференцiальних рiвнянь, у тому числi зi слабким та регулярним виродже- нням. Крiм того, дослiджується бiльш загальний тип псевдодиференцiального рiвняння з 𝑝–адичними часовою та просторовою змiнними. Дисертацiя складається з анотацiй українською та англiйською мовами, вступу, чотирьох роздiлiв основної частини, висновкiв, списку використаних джерел та додатку. У вступi обґрунтовано актуальнiсть теми, вказано зв’язок дисертацiйної роботи з науковими програмами, планами, темами, зазначено мету i завдання, об’єкт, предмет та методи дослiдження, наведено наукову новизну та практичне значення отриманих результатiв, охарактеризовано особистий внесок здобувача, наведено список конференцiй, на яких робота пройшла апробацiю, та короткий змiст роботи. У першому роздiлi дисертацiйної роботи вводяться необхiднi поняття, наведено огляд лiтератури за тематикою роботи та результатiв, отриманих iншими авторами. У другому роздiлi дисертацiї дослiджується задача Кошi для псевдодиференцiального рiвняння зi слабким виродженням на радiальних функцiях 𝑝–адичного аргументу. Розглянуто iнтегральне рiвняння, яке вiдповiдає задачi Кошi, та дослiджено питання iснування та єдиностi його локальних м’яких розв’язкiв та зв’язку з розв’язками початкового диференцiального рiвняння. У третьому роздiлi вивчається випадок регулярного виродження, тобто коли порядок виродження при похiднiй збiгається з порядком диференцiювання. Для таких рiвнянь отримано умови збiжностi формальних розв’язкiв у виглядi степеневого ряду. У четвертому роздiлi дисертацiйного дослiдження вивчається новий клас неархiмедових рiвнянь, який з одного боку є узагальненням рiвнянь хвильового типу з 𝑝–адичними часовою та просторовою змiнними, а з iншого боку має деякi властивостi, характернi для параболiчних рiвнянь з дiйсним часом та 𝑝–адичною просторовою змiнною. Доведено iснування та єдинiсть розв’язкiв вiдповiдної задачi Кошi. Дослiджено властивостi розв’язкiв, такi як скiнченна область залежностi та оцiнка на фундаментальний розв’язок задачi Кошi. У дисертацiйнiй роботi отримано такi новi науковi результати: – отримано достатнi умови iснування та єдиностi локального м’якого розв’язку задачi Кошi для нелiнiйного псевдодиференцiального рiвняння зi слабким виродженням на радiальних функцiях 𝑝–адичного аргументу; – побудовано продовження локального м’якого розв’язку рiвняння зi слабким виродженням на весь простiр 𝑝–адичних чисел, та визначено достатнi умови на праву частину рiвняння, за яких це продовження буде коректним; – доведено, що за певних умов побудований таким чином м’який розв’язок є розв’язком початкової задачi Кошi; – знайдено достатнi умови iснування формального розв’язку лiнiйного псевдодиференцiального рiвняння з регулярним виродженням у виглядi степеневого ряду; – доведено, що формальний розв’язок такого рiвняння за певних умов є локально абсолютно збiжним; – дослiджено узагальнене псевдодиференцiальне рiвняння на радiальних за часом функцiях з 𝑝–адичною часовою та просторовою змiнними, у випадку, коли порядки похiдних за часом та за простором не спiвпадають; – отримано необхiднi та достатнi умови iснування та єдиностi фундаментального розв’язку такого рiвняння та розв’язку вiдповiдної задачi Кошi у просторi Лiзоркiна; – побудовано оцiнку даного фундаментального розв’язку у термiнах нор- ми вiд 𝑝–адичної змiнної. Такi оцiнки є аналогiчними до вiдповiдних вiдомих оцiнок для параболiчних рiвнянь з дiйсною часовою та 𝑝– адичною просторовою змiнними; – дослiджено додатковi властивостi розв’язку вiдповiдної задачi Кошi, зокрема доведено скiнченнiсть областi залежностi розв’язку вiд початкової умови; – побудовано рiвномiрну по часу оцiнку даного розв’язку у просторi 𝐿1 за просторовою змiнною в термiнах початкової умови. Дисертацiйна робота має теоретичне значення. Отриманi в роботi результати можуть бути використанi в подальших дослiдженнях, пов’язаних з розв’язнiстю псевдодиференцiальних рiвнянь iз виродженням при головнiй похiднiй в просторах функцiй 𝑝-адичного аргументу, а також при побудовi теорiї регулярних i сингулярних розв’язкiв таких рiвнянь.Serdiuk M. V. Pseudo-differential equations with degeneration for radial functions of 𝑝-adic argument. — Manuscript. The thesis for obtaining the Doctor of Philosophy Degree in the speciality 111 Mathematics. — Taras Shevchenko National University of Kyiv, MES of Ukraine, Kyiv, 2025. The dissertation is devoted to the study of the existence, uniqueness and also some properties of solutions of pseudo–differential equations with the fractional differentiation operator on the non–Archimedean field of 𝑝–adic numbers, which can be understood as an analog of ordinary differential equations, including those with weak and regular degeneration. In additi- on, we study a more general type of the pseudo-differential equation with 𝑝-adic time and space variables. The dissertation consists of abstracts in Ukrainian and English, an introducti- on, four chapters of the main part, conclusions, a list of references, and an appendix. The introduction highlights the relevance of the topic, indicates the connection of the dissertation with scientific programs, plans, topics, states the purpose and objectives, object, subject and methods of the study, presents the scientific novelty and practical significance of the results, characterizes the personal contribution of the applicant, provides a list of conferences where the work was tested, and a summary of the work. The first chapter of the thesis introduces the necessary concepts, provides a review of the literature on the subject matter of the work and the results obtained by other authors. In the second chapter of the dissertation, we study the Cauchy problem for a pseudo–differential equation with weak degeneracy on radial functions of a 𝑝–adic argument. The integral equation corresponding to the Cauchy problem is considered, and the existence and uniqueness of its local mild solutions and the connection with the solutions of the initial differential equation are investigated. In the third section, we study the case of regular degeneration, i.e., when the order of degeneration in the derivative coincides with the order of differentiation. For such equations, the conditions for the convergence of formal solutions in the form of a power series are obtained. In the fourth chapter of the dissertation, a new class of non-Archimedean equations is studied, which, on the one hand, is a generalization of wave- type equations with 𝑝–adic time and space variables, and on the other hand, has some properties characteristic of parabolic equations with real time and 𝑝–adic space variables. We prove the existence and uniqueness of solutions to the corresponding Cauchy problem. The properties of the solutions, such as the finite domain of dependence and the estimation on the fundamental solution of the Cauchy problem, are investigated. The following new scientific results were obtained in the dissertation: – sufficient conditions for the existence and uniqueness of a local mild solution of the Cauchy problem for a nonlinear pseudo-differential equation with weak degeneracy on radial functions of the 𝑝–adic argument are obtained; – a continuation of the local mild solution of the equation with weak degeneracy to the whole space of 𝑝–adic numbers is constructed, and sufficient conditions on the right-hand side of the equation are determined under which this continuation will be correct; – it is proved that under certain conditions the mild solution constructed in this way is a solution to the original Cauchy problem; – sufficient conditions for the existence of a formal solution of a linear pseudo- differential equation with regular degeneracy in the form of a power series are found; – it is proved that the formal solution of such an equation is locally absolutely convergent under certain conditions; – generalized pseudo–differential equation on radial in time functions with 𝑝-adic time and space variables is investigated in the case when the orders of derivatives in time and space do not coincide; – necessary and sufficient conditions for the existence and uniqueness of the fundamental solution of such an equation and the solution of the corresponding Cauchy problem in the Lizorkin space are obtained; – an estimate of this fundamental solution in terms of the norm of a 𝑝–adic variable is constructed. Such estimates are similar to the corresponding known estimates for parabolic equations with real time and 𝑝–adic spatial variables; – additional properties of the solution of the corresponding Cauchy problem are investigated, in particular, the finiteness of the domain of dependence of the solution on the initial condition is proved; – a time-homogeneous estimate of this solution in space 𝐿1 of the functions of 𝑝–adic argument in terms of the initial condition is constructed. This dissertation is of theoretical importance. The results obtained in this work can be used in further studies related to the solvability of pseudo– differential equations with degeneracy at the main derivative in the spaces of functions of 𝑝–adic argument, as well as in the construction of the theory of regular and singular solutions of such equations.ukдиференцiальнi рiвняннялiнiйнi операториоператор дробової похiдноїпараболiчне рiвняннярiвняння в частинних похiднихпсевдодиференцiальний операторм’який розв’язокслабкий розв’язокформальний степеневий рядзадача Кошiфундаментальний розв’язок𝑝–адичний аналiзdifferential equationslinear operatorsoperator of fractional derivativeparabolic equationsPDEpseudodifferential operatormild solutionweak solutionformal power seriesCauchy problemfundamental solution𝑝–adic analysisДисертація