Люта, А. В.А. В.ЛютаЖиліна, С. О.С. О.Жиліна0000-0002-3280-8245Семенов, Володимир ВікторовичВолодимир ВікторовичСеменов2026-04-082026-04-082021-07-20Люта, А. В., Жиліна, С. O., & Семенов, В. В. (2021). Проксимальні алгоритми для дворівневих задач опуклої оптимізації. Журнал обчислювальної та прикладної математики, (1), 145–150. https://doi.org/10.17721/2706-9699.2021.1.19УДК 519.8510.17721/2706-9699.2021.1.19https://ir.library.knu.ua/handle/15071834/14800In this paper, problems of bi-level convex minimization in a Hilbert space are considered. The bi-level convex minimization problem is to minimize the first convex function on the set of minima of the second convex function. This setting has many applications, but the implicit constraints generated by the internal problem make it difficult to obtain optimality conditions and construct algorithms. Multilevel optimization problems are formulated in a similar way, the source of which is the operation research problems (optimization according to sequentially specified criteria or lexicographic optimization). Attention is focused on problem solving using two proximal methods. The main theoretical results are theorems on the convergence of methods in various situations. The first of the methods is obtained by combining the penalty function method and the proximal method. Strong convergence is proved in the case of strong convexity of the function of the exterior problem. In the general case, only weak convergence has been proved. The second, the so-called proximal-gradient method, is a combination of one of the variants of the fast proximal-gradient algorithm with the method of penalty functions. The rates of convergence of the proximal-gradient method and its weak convergence are proved.В данной работе рассмотрены задачи двухуровневой выпуклой минимизации в гильбертовом пространстве. Двухуровневая задача выпуклой минимизации заключается в минимизации первой выпуклой функции на множестве минимумов второй выпуклой функции. Эта постановка имеет много применений, но неявные ограничения, порожденные внутренней задачей, затрудняют получение условий оптимальности и построение алгоритмов. Подобным образом формулируются и многоуровневые задачи оптимизации, источником которых стали вопросы исследования операций (оптимизация по последовательно заданным критериям или лексикографическая оптимизация). Внимание сосредоточено на решении задач с помощью двух методов проксимального типа. Основные теоретические результаты – теоремы о сходимости методов в различных ситуациях. Первый из методов получен сочетанием метода штрафных функций и проксимального метода. Доказана сильная сходимость в случае сильной выпуклости функции внешней задачи. В общем случае установлена лишь слабая сходимость. Второй, так называемый, проксимально-градиентный метод является сочетанием одного из вариантов быстрого проксимально-градиентного алгоритма с методом штрафных функций. Установлены оценки скорости проксимально-градиентного метода и его слабая сходимость.У роботі розглянуто задачі дворівневої опуклої мінімізації у гільбертовому просторі. Дворівнева задача опуклої мінімізації полягає у мінімізації першої опуклої функції на множині мінімумів другої опуклої функції. Ця постановка має багато застосувань, але неявні обмеження, що породжені внутрішньою задачею ускладнюють отримання умов оптимальності та побудову методів. Подібним чином формулюються й багаторівневі задачі, джерелом яких стали питання дослідження операцій (оптимізація за послідовно заданими критеріями або лексикографічна оптимізація). Увага зосереджена на розв’язанні задач за допомогою двох методів проксимального типу. Основні теоретичні результати – теореми про збіжність методів у різних ситуаціях. Перший з методів отриманий поєднанням методу штрафних функцій та проксимального методу. Доведена сильна збіжність у випадку сильної опуклості функції зовнішньої задачі. У загальному випадку отримана лише слабка збіжність. Другий, так званий, проксимально-градієнтний метод є поєднанням одного з варіантів швидкого проксимально-градієнтного алгоритму з методом штрафних функцій. Встановлені оцінки швидкості проксимально-градієнтного методу та його слабка збіжність.ukcоnvex optimizationbi-level problemproximal algorithmconvergenceопукла оптимізаціядворівнева задачапроксимальний алгоритмзбіжністьвыпуклая оптимизациядвухуровневая задачапроксимальный алгоритмсходимостьСтаття