Рассадкіна, Марина ВалеріївнаМарина ВалеріївнаРассадкіна2025-09-192025-09-192025-09-17Рассадкiна М. В. Класифiкацiйнi та комбiнаторнi задачi в теорiї квадратичних форм Тiтса : дис. ... д-ра фіз.-мат. наук : 01.01.06 – алгебра та теорiя чисел. Київ, 2025. 351 с.УДК 512.56, 512.64, 519.11https://ir.library.knu.ua/handle/15071834/7753Рассадкiна М. В. Класифiкацiйнi та комбiнаторнi задачi в теорiї квадратичних форм Тiтса. – Квалiфiкацiйна наукова праця на правах рукопису. Дисертацiя на здобуття наукового ступеня доктора фiзико- математичних наук за спецiальнiстю 01.01.06 – алгебра та теорiя чисел. – Полiський нацiональний унiверситет – Київський нацiональний унiверситет iменi Тараса Шевченка, Київ, 2025. У 70-х роках минулого столiття розпочався новий етап розвитку теорiї зображень, пов’язаний з введенням зображень нових об’єктiв — таких як сагайдаки i частково впорядкованi множини. Об’єднання двох видiв зображень привiв до найбiльш загальних вiльних матричних задач, що дозволило, зокрема, дати точнi означення iнтуїтивно зрозумiлих понять, виник новий метод опису зображень класичних алгебраїчних об’єктiв, який полягає в їх зведеннi до вiльних матричних задач (нових чи вже добре вивчених). Отже, в теорiї зображень виникли рiзнi новi можливостi дослiджень тощо. Специфiкою нових дослiджень зображень стала i так звана квадратична форма Тiтса. Вперше її ввiв у 1972 р. П. Габрiель для зображень сагайдакiв, а потiм в 1974 р. Ю. А. Дрозд для частково впорядкованих множин. Цi результати стали початком нового напрямку в алгебрi, який пов’язаний iз вивченням зв’язкiв мiж властивостями зобра- жень рiзних об’єктiв та властивостями вiдповiдних квадратичних форм. Дослiдження квадратичних форм Тiтса постiйно вимагають нових iдей i алгоритмiв, вони пов’язанi з рiзними класифiкацiйними i комбiнаторними задачами. Дисертацiйна робота присвячена вивченню квадратичних форм Тiтса скiнченних частково впорядкованих (скорочено ч.в.) множин з рiзних точок зору. Вона складається зi вступу i шести роздiлiв. У вступi наведено загальну характеристику та мету роботи, об- ґрунтовано її актуальнiсть i наукову новизну тощо. У першому роздiлi дисертацiйної роботи викладено основнi вiдомостi iз теорiї зображень категорiй, сагайдакiв i ч.в. множин, та зв’язок з квадратичними формами Тiтса. У другому роздiлi детально викладено метод мiнiмаксної еквiвалентностi ч.в. множин, включаючи поняття мiнiмаксної системи твiрних для класiв ч.в. множин, приведено мiркування (з прикладами) про явнi i неявнi класифiкацiї та модифiкацiї класифiкацiй. Новими результатами, викладеними в цьому роздiлi, є модифiкована класифiкацiя P -критичних ч.в. множин (в сенсi опису по класам мiнiмаксних iзоморфiзмiв множин), опис Тiтса i не Тiтса P -критичних ч.в. множин та загальну теорему про ч.в. множини верхньої ширини 3. Для довiльної ч.в. множини знайдено зв’язок мiж нижньою i верхньою шириною як найменшою та найбiльшою шириною в класi всiх множин, мiнiмаксно еквiвалентних заданiй. У другому роздiлi вивчаються також ч.в. множини з додатною квадратичною формою Тiтса; такi множини називаються додатними. Описано максимальнi додатнi множини i мiнiмальнi додатнi несерiйнi множини. Доведено, що кожна несерiйна додатна множина вкладається в максимальну як нижня або верхня пiдмножина. Доведено, що множина всiх додатних ч. в. множин має мiнiмаксну систему твiрних iз квазi- ланцюгових ч.в. множин (множин, дiаграми Хассе яких є ланцюгами). Доведено, що для неорiєнтованого графа Хассе довiльної зв’язаної несерiйної додатної ч. в. множини iснує додатний цикломатичний каркас. У третьому роздiлi доведено, що довiльна NP -критична ч. в. множина (мiнiмальна множина, квадратична форма Тiтса якої не є невiд’ємною) мiнiмаксно еквiвалентна суперкритичнiй множинi Назарової. Бiльш точно суперкритичнi множини (по одному iз кожного iз шести класiв iзоморфiзму) утворюють канонiчну мiнiмаксну систему твiрних для множини всiх NP -критичних ч. в. множин. Використовуючи це твер- дження, отримано повну загальну класифiкацiю NP -критичних ч.в. множин (їх число, з точнiстю до iзоморфiзму i дуальностi, дорiвнює 115). Отримано також модифiковану класифiкацiю NP -критичних ч. в. множин в тому сенсi, що (з точнiстю до iзоморфiзму i дуальностi) вказано ч.в. множини, що належать кожному iз шести класiв мiнiмаксної еквiвалентностi. У четвертому роздiлi описано серiйнi невiд’ємнi ч.в. множини з одновимiрним цiлочисловим ядром їхньої квадратичної форми Тiтса (названi Д. Сiмсоном основними). Доведена гiпотеза Сiмсона про немож- ливiсть цiлочислової еквiвалентностi мiж квадратичними формами Тiтса основної ч. в. множини i циклiчної розширеної дiаграми Динкiна. Вве- дено поняття майже додатної ч.в. множини як невiд’ємної множини з максимальною додатною пiдмножиною. Доведено, що множина недодат- них майже додатних множин (названих суттєвими) збiгається з множи- ною основних множин. Це дає можливiсть при дослiдженнi основних ч.в. множин замiнити комбiнаторику квадратичних форм i вiдповiдних їм матриць на комбiнаторику самих ч.в. множин. Описано всi суттєвi май- же додатнi множини (з точнiстю до iзоморфiзму i дуальностi їх 247, не рахуючи P -критичних). Цей результат завершує опис всiх майже додат- них ч.в. множин як аналогiв звичайних i розширених дiаграм Динкiна. У п’ятому роздiлi введено поняття надсуперкритичних ч. в. множин як природне продовження ряду “критичнi множини Клейнера — надсуперкритичнi множини Назарової”. Тодi клас всiх ч.в. множин, якi їм мiнiмаксно iзоморфнi, є природним продовженням ряду “ P -критичнi множини — NP -критичнi множини”. Згiдно отриманого опису ч.в. множин цього класу їх кiлькiсть, з точнiстю до iзоморфiзму i дуальностi, дорiвнює 203. Цей процес можна продовжити до нескiнченностi, ввiвши iндуктивно поняття m-надсуперкритичної ч. в. множини для довiльного натурального числа. У шостому роздiлi дослiджуються коефiцiєнти транзитивностi для рiзних класiв ч.в. множин. Знайдено залежностi мiж шириною, висотою та коефiцiєнтом транзитивностi для несерiйних додатних ч. в. множин. А саме, доведено, що якщо kt(S) позначає коефiцiєнт транзитивностi ч.в. множин S, а w(S) i h(S) вiдповiдно її ширину i висоту, то для несерiйних додатних множин S i T маємо такi нерiвностi: (1) kt(T ) > kt(S), якщо h(T ) > h(S) + 1; (2) kt(T ) > kt(S) — 1 , якщо h(T ) = h(S) + 1. (3) kt(T ) ≥ kt(S), якщо w(T ) = w(S) = 3 i h(T ) > h(S); (4) kt(T ) ≥ kt(S), якщо w(T ) = w(S) = 2, h(T ) > h(S) i дiаграма Хассе множини T не є циклом. Для P -критичних ч.в. множин S i T маємо такi нерiвностi: (5 )kt(T ) > kt(S), якщо h(T ) > h(S) + 1; (5) kt(T ) > kt(S) — 1 , якщо h(T ) = h(S) + 1. У випадку ж, коли S i T — ч.в. множини, мiнiмаксно еквiвалентнi суперкритичним (вiдповiдно надсуперкритичним) множинам, маємо: (7) kt(T ) > kt(S), якщо h(T ) > h(S) + 2, (8) kt(T ) > kt(S) — 1 (вiдповiдно — 1 ), якщо h(T ) = h(S) + 2, (9) kt(T ) > kt(S) — 1, якщо h(T ) = h(S) + 1. Окрiм того, для рiзних класiв вказано умови, при яких коефiцiєнт транзитивностi є найбiльшим.Rassadkina M. V. Classification and combinatorial problems in the theory of Tits quadratic forms. – Qualifying scientific work on the rights of the manuscript. The thesis for obtaining the Doctor of Physical and Mathematical Sciences degree on the specialty 01.01.06 — Algebra and Number Theory. – Polissia National University – Taras Shevchenko National University of Kyiv, Kyiv, 2025. In the 1970s, a new stage in the development of the representation theory began, associated with the introduction of representations of new objects — such as quivers and partially ordered sets. The combination of the two types of representations led to the most general free matrix problems, which allowed, in particular, to give precise definitions of intuitively understandable concepts, a new method of describing representations of classical algebraic objects arose, which consists in reducing them to free matrix problems (new or already well- studied). Thus, various new research opportunities arose in the representation theory, etc. The so-called Tits quadratic form became a specific feature of new represen- tation research. It was first introduced in 1972 by P. Gabriel for representations of quivers, and then, in 1974, by Yu. A. Drozd for partially ordered sets. These results marked the beginning of a new direction in algebra, which is associated with the study of the connections between the properties of representations of various objects and the properties of the corresponding quadratic forms. Studies of Tits quadratic forms constantly require new ideas and algorithms, they are associated with various classification and combinatorial prob- lems. The dissertation is devoted to the study of Tits quadratic forms of finite partially ordered (abbreviated as posets) sets from different points of view. It consists of an introduction and six sections. The introduction provides a general description and purpose of the work, substantiates its relevance and scientific novelty, etc. The first Chapter of the dissertation presents the basic information from the theory of representations of categories, quivers and posets, and the connection with Tits quadratic forms. The second Chapter presents in detail the method of minimax equivalence of posets, including the concept of a minimax system of generators for classes of posets, and provides considerations (with examples) on explicit and implicit classifications and modifications of classifications. The new results presented in this section are a modified classification of P -critical posets (in the sense of a description by classes of minimax isomorphisms of sets), a description of Tits and non-Tits P -critical posets and a general theorem on posets of upper width 3. For an arbitrary poset a relation between the lower and upper widths as the smallest and largest widths in the class of all sets minimax equivalent to the given one is found. In the second Chapter, we also study posets with positive quadratic Tits form; such posets are called positive. Maximal positive posets and minimal positive non-serial posets are described. It is proved that every non-serial pos- itive poset is embedded in a maximal one as a lower or upper subset. It is proved that the poset of all positive posets has a minimax system generated from quasi-chain posets (sets whose Hasse diagrams are chains). It is proved that for an undirected Hasse graph of an arbitrary connected non-serial posi- tive poset there exists a positive cyclomatic frame. In the third Chapter, we show that an arbitrary NP -critical poset (a min-imal poset whose Tits quadratic form is not non-negative) is minimax equiva- lent to a supercritical Nazarova poset. More precisely, supercritical posets (one from each of the six isomorphism classes) form a canonical minimax system of generators for the poset of all NP -critical posets. Using this statement we ob- tain the complete general classification of NP -critical posets (their number up to isomorphism and duality is equal to 115). We obtain also the modification of classification of NP -critical posets in the sense that (up to isomorphism and duality) it is indicated the posets which belong to each from six classes of minimax equivalence. In the fourth Chapter, serial nonnegative posets with a one-dimensional integer kernel of their Tits quadratic form (called fundamental by D. Simson) are described. Simson’s conjecture on the impossibility of integer equivalence between the Tits quadratic forms of a fundamental poset and a cyclic extend- ed Dynkin diagram is proved. The concept of an almost positive poset as a nonnegative poset with a maximal positive subset is introduced. It is proved that the poset of nonpositive almost positive posets (called essential) coin- cides with the poset of fundamental posets. This makes it possible to study fundamental posets replace the combinatorics of quadratic forms and their corresponding matrices with the combinatorics of the posets themselves). All essential almost positive posets are described (up to isomorphism and duality, 247 of them, not counting P -critical ones). This result completes the descrip- tion of all almost added posets as analogues of ordinary and extended Dynkin diagrams. In the fifth Chapter, the concept of oversupercritical posets is introduced as a natural extension of the series “Kleiner critical sets — Nazarova supercritical posets”. Then the class of all posets that are minimax isomorphic to them is a natural extension of the series “P -critical posets — NP -critical critical posets”. According to the obtained description of posets of this class, their number, up to isomorphism and duality, is 203. This process can be continued to infinity by inductively introducing the concept of m-oversupercritical poset for an arbitrary natural number. In the sixth Chapter, transitivity coefficients for different classes of posets are investigated. Dependencies between width, height and transitivity coeffi- cient for non-serial positive posets are found. Namely, it is proved that if kt(S) denotes the transitivity coefficient of the poset S, and w(S) and h(S) denote its width and height, respectively, then for non-serial positive posets S and T we have the following inequalities: (1) kt(T ) > kt(S), if h(T ) > h(S) + 1; (2) kt(T ) > kt(S) — 1 , if h(T ) = h(S) + 1. (3) kt(T ) ≥ kt(S), if w(T ) = w(S) = 3 and h(T ) > h(S); (4) kt(T ) ≥ kt(S), if w(T ) = w(S) = 2, h(T ) > h(S) and the Hasse diagram of the poset T is not a cycle. For P -critical posets S and T we have the following inequalities: (5 )kt(T ) > kt(S), if h(T ) > h(S) + 1; (5) kt(T ) > kt(S) — 1 , if h(T ) = h(S) + 1. In the case when S and T are posets that are minimax equivalent to supercritical (respectively oversupercritical) sets, we have: (7) kt(T ) > kt(S), if h(T ) > h(S) + 2, (8) kt(T ) > kt(S) — 1 (respectively — 1 ), if h(T ) = h(S) + 2, (9) kt(T ) > kt(S) — 1, if h(T ) = h(S) + 1. In addition, the conditions under which the transitivity coefficient is the largest are indicated for different classes.ukКвадратична форма Тiтсамiнiмаксна еквiвалентнiстьверхня i нижня ширинацикломатичний каркасNP -критична ч.в. множинамайже додатна ч.в. множинанадсуперкритична ч.в. множинакоефiцiєнт транзитивностi.Tits quadratic formminimax equivalencedown and lower widthcyclomatic scanning treeNP -critical posetalmost positive posetoversupercritical posettransitive coefficient.Дисертація