Зоркальцев, В. І.В. І.Зоркальцев2026-04-082026-04-082021-12-30Zorkaltsev, V. I. (2021). The Chebyshev Projections on Polyhedron. Journal of Numerical and Applied Mathematics, (2), 17–33. https://doi.org/10.17721/2706-9699.2021.2.02УДК 517.98810.17721/2706-9699.2021.2.02https://ir.library.knu.ua/handle/15071834/14830The problem of minimizing weighted Chebyshev norm on a convex polyhedron defined as the set of solutions to a system of linear inequalities may have a non-unique solution. Moreover, among the solutions to this problem, there may be clearly not suitable points of the polyhedron for the role of the closest points to the zero vector. It complicates, in particular, the Chebyshev approximation. In order to overcome the problems arising from this, the Haar condition is used, which means the requirement for the uniqueness of the solution of the indicated problem. This requirement is not always easy to verify and it is not clear what to do if it is not true. An algorithm is presented that always generates a unique solution to the indicated problem, based on the search with respect to interior points for optimal solutions of a finite sequence of linear programming problems. The solution developed is called the Chebyshev projection of the origin onto the polyhedron. It is proved that this solution is a vector of a polyhedron with Pareto-minimal absolute values of the components. It is proved that the sets of Chebyshev (according to the introduced algorithm) and Euclidean projections of the origin of coordinates onto the polyhedron, formed by varying the positive weight coefficients in the minimized Euclidean and Chebyshev norms, coincide.Задача минимизации взвешенной чебышевской нормы на выпуклом полиэдре, определяемом как множество решений системы линейных неравенств, может иметь неединственное решение. Причем среди решений этой задачи могут оказаться явно не подходящие на роль ближайших к нулевому вектору точки полиэдра. Это затрудняет, в частности, чебышевскую аппроксимацию. В целях преодоления возникающих из-за этого проблем используется условие Хаара, которое означает требование единственности решения указанной  задачи. Это требование не всегда легко проверить и не ясно, что делать, если оно не выполняется. Приводится алгоритм, вырабатывающий всегда единственное решение указанной задачи, основанный на поиске относительно внутренних точек оптимальных решений конечной последовательности задач линейного программирования. Вырабатываемое решение названо чебышевской проекцией начала координат на полиэдр. Доказано, что это решение является вектором полиэдра с парето-минимальными абсолютными значениями компонент. Доказано, что совпадают множества чебышевских (по введенному алгоритму) и евклидовых проекций начала координат на полиэдр, образуемые при варьировании положительных весовых коэффициентов в минимизируемых евклидовых и чебышевских нормах.Задача мiнiмiзацiї зваженої чебишовської норми на опуклому полiедрi, який визначається як множина розв’язкiв системи лiнiйних нерiвностей, може мати не єдиний розв’язок. Причому серед розв’язкiв цiєї задачi можуть виявитись такi, що зовсiм не пiдходять на роль найближчих до нульового вектора точок полiедра. Це ускладнює, зокрема, чебишовську апроксимацiю. З метою подолання проблем, якi при цьому виникають, використовується умова Хаара, яка означає вимогу єдиностi розв’язку наведеної задачi. Цю вимогу не завжди легко перевiрити i не зрозумiло що робити, якщо вона не виконується. Наведено алгоритм, який будує завжди єдиний розв’язок наведеної задачi, i заснований на пошуку вiдносно внутрiшнiх точок оптимальних розв’язкiв скiнченої послiдовностi задач лiнiйного програмування. Розв’язок, що будується, названо чебишовською проекцiєю початку координат на полiедр. Доведено, що цей розв’язок є вектором полiедра з парето-мiнiмальними абсолютними значеннями компонент. Доведено, що спiвпадають множини чебишовських (за введеним алгоритмом) i евклiдових проекцiй початку координат на полiедр, якi утворюються при варiюваннi позитивних вагових коефiцiєнтiв в евклiдових та чебишовських нормах, що мiнiмiзуються.polyhedronthe Chebyshev normsthe Chebyshev approximationsполiедрчебишовськi нормичебишовськi апроксимацiїполиэдрчебышевские нормычебышевские аппроксимацииСтаття