Алдашев, С. А.С. А.Алдашев2026-04-082026-04-082019-12-25Aldashev, S. A. (2019). A Criterion for the Unique Solvability of the Poincare Spectral Problem in a Cylindrical Domain for One Class of Multidimensional Elliptic Equations. Journal of Numerical and Applied Mathematics, (3), 5–14. https://doi.org/10.17721/2706-9699.2019.3.01УДК 517.95610.17721/2706-9699.2019.3.01https://ir.library.knu.ua/handle/15071834/14855Two-dimensional spectral problems for elliptic equations are well studied, and their multidimensional analogs, as far as the author knows, are little studied. This is due to the fact that in the case of three or more independent variables there are difficulties of a fundamental nature, since the method of singular integral equations, which is very attractive and convenient, used for two-dimensional problems, cannot be used here because of the lack of any complete theory of multidimensional singular integral equations. The theory of multidimensional spherical functions, on the contrary, has been adequately and fully studied. In the cylindrical domain of Euclidean space, for a single class of multidimensional elliptic equations, the spectral Poincare problem. The solution is sought in the form of an expansion in multidimensional spherical functions. The existence and uniqueness theorems of the solution are proved. Conditions for unique solvability of the problem are obtained, which essentially depend on the height of the cylinder.Двумерные спектральные задачи для эллиптических уравнений хорошо изучены, а их многомерные аналоги, насколько известно автору, исследованы мало. Это связано с тем,что в случае трех и более независимых переменных возникают трудности принципиального характера, так как весьма привлекательный и удобный метод сингулярных интегральных уравнений, применяемый для двумерных задач, здесь не может быть использован из-за отсутствия сколько-нибудь полной теории многомерных сингулярных интегральных уравнений. Теория многомерных сферических функций, напротив, достаточно и полно изучена. В цилиндрической области евклидова пространства для одного класса многомерных эллиптических уравнений рассматривается спектральная задача Пуанкаре. Решение ищется в виде разложения по многомерным сферическим функциям. Доказана теорема существования и единственности решения. Получены условия однозначной разрешимости поставленной задачи, которые существенно зависят от высоты цилиндра.Двовимiрнi спектральнi задачi для елiптичних рiвнянь добре вивченi, а їх багатовимiрнi аналоги, наскiльки вiдомо автору, дослiдженi мало. Це пов’язано з тим, що в разi трьох i бiльше незалежних змiнних виникають труднощi принципового характеру, так як дуже привабливий i зручний метод сингулярних iнтегральних рiвнянь, що застосовується для двовимiрних задач, тут не може бути використаний через вiдсутнiсть скiльки-небудь повної теорiї багатовимiрних сингулярних iнтегральних рiвнянь. Теорiя багатовимiрних сферичних функцiй, навпаки, досить i повно вивчена. У цилiндричної областi евклiдового простору для одного класу багатовимiрних елiптичних рiвнянь розглядається спектральна задача Пуанкаре. Розв’язок шукається у виглядi розкладу за багатовимiрними сферичними функцiями. Доведено теорему iснування та єдиностi розв’язку. Отримано умови однозначної розв’язностi поставленої задачi, якi iстотно залежать вiд висоти цилiндра.multidimensional elliptic equationPoincare spectral problemmultidimensional cylindrical domainsolvabilitycriterionбагатовимiрне елiптичне рiвнянняспектральна задача Пуанкаребагатовимiрна цилiндрична областьрозв’язнiстькритерiймногомерное эллиптическое уравнениеспектральная задача Пуанкаремногомерная цилиндрическая областьразрешимостькритерийСтаття