Цань Вiкторiя БорисiвнаСтанжицький, Олександр Миколайович2025-02-122025-02-122024-12-30Цань В. Б. Асимптотичнi та коливнi властивостi розв’язкiв динамiчних рiвнянь на часових шкалах : дис. ... доктора фiлософiї : 111 Математика / наук. кер. О.М. Станжицький. Київ, 2024. 152 с.https://ir.library.knu.ua/handle/15071834/5850The thesis is devoted to the study of asymptotic and oscillatory properties of dynamic equations on a family of time scales 𝕋𝜆, in particular, the dissipativity of dynamic systems, boundedness, oscillation, and periodicity of their solutions, and the search for conditions to preserve such properties when transitioning from differential of dynamic equations on time scales and vice versa. The considered family of time scales 𝕋𝜆 covers the range of time from −∞ to +∞. Here 𝜆 ∈ Λ ⊂ ℝ and 𝜆 = 0 is a boundary point of the set Λ. The graininess function 𝜇𝜆 (𝑡) : 𝕋𝜆 → [0, ∞) is such that if 𝜇𝜆 → 0 as 𝜆 → 0, then 𝕋𝜆 coincides with the continuous time scale 𝕋0 = ℝ, and the system of dynamic equations turns into a system of differential equations. The study investigates the boundedness property of solutions of dynamic equations on a family of time scales 𝕋𝜆, assuming that the function describing the dynamic system is continuously differentiable and bounded along with its partial derivatives. For dynamic systems on general time scales, an explicit estimate of the smallness of the graininess function 𝜇𝜆 has been obtained, which ensures the preservation of global bounded solutions in passing from differential of dynamic equations on general time scales. Sufficient conditions for both dissipativity and uniform dissipativity of dynamic equations on general time scales have been established using Lyapunov functions. The existence of a Lyapunov function with specific properties of a dissipative system of dynamic equations has been proven for the first time in the theory of time scales. The relationship between the dissipation of a differential equation system and the corresponding difference equation system, which is a special case of dynamic equations on time scales when the scale is of the form 𝕋 = ℎℤ with step ℎ > 0, has been previously studied by O. Stanzhytskiy and A. Tkachuk. This thesis extends such a relationship between dynamic and differential systems on a family of time scales with a small graininess function. Criteria for the oscillation of solutions of various types of dynamic equations on time scales have been studied by leading mathematicians including R. Agarwal, D. O’Regan, G. Guseinov, B. Kaymak¸cal, L. Erbe, A. Peterson, S. Saker, M. Bohner, and others. However, these studies explore oscillation on specific time scales with given properties, while the relationship between the oscillation of solutions of dynamic equations on time scales and the corresponding differential equations has not been previously investigated. This study includes a chapter dedicated to defining the conditions for oscillation of solutions of linear second-order dynamic equations on general time scales in relation to the oscillation of solutions of differential equations and vice versa, as well as obtaining conditions for oscillation of solutions of weakly nonlinear second-order differential and dynamic equations on time scales, given such properties in the corresponding solutions of linear dynamic equations on time scales and linear differential equations on the real axis, respectively. This work also establishes that the existence of an asymptotically stable periodic solution of a dynamic equation system on a periodic time scale 𝕋𝜆 with period 𝜏 implies the existence of a periodic solution with period multiples of 𝜏 of the corresponding system of differential equations and vice versa, provided that the graininess function of the time scale is sufficiently small. All obtained results are illustrated with examples that include constructions performed using MATLAB, which demonstrate the behavior of solutions of dynamic equation systems on time scales as the graininess function decreases. This thesis holds both theoretical and practical significance. The theoretical findings and developed methodologies will advance the theory of dynamic equations on time scales and can be applied to various fields such as biology, economics, and physics.Дисертаційна робота присвячена вивченню асимптотичних та коливних властивостей динамічних рівнянь на сім'ї часових шкал Tλ, зокрема дисипативності динамічних систем, обмеженості, коливності та періодичності їх розв'язків і пошуку умов збереження таких властивостей при переході від диференціальних до динамічних рівнянь на часових шкалах та навпаки. Сім'я часових шкал Tλ, що розглядається, охоплює весь можливий діапазон часу від -∞ до +∞, де λ∈Λ⊂R і λ=0 гранична точка множини Λ. Функція зернистості μλ (t):Tλ→[0,+∞) така, що якщо μλ→0 при λ→0, то Tλ збігаться з неперервною шкалою часу T0=R, а система динамічних рівнянь переходить в систему диференціальних рівнянь. В роботі вивчено властивість обмеженості розв'язків динамічних рівнянь на сім'ї часових шкал Tλ за припущення, що права частина системи неперервно диференційовна та обмежена разом зі своїми частинними похідними. Для динамiчних систем на часовiй шкалi загального вигляду вперше отримано явну оцінку малості функції зернистості μλ, яка гарантує збереження глобальних обмежених розв'язків при переході від диференціальних до динамічних рівнянь на часових шкалах загального вигляду та навпаки. Також одержано достатні умови дисипативності та рівномірної дисипативності системи динамічних рівнянь на часових шкалах загального вигляду в термінах функції Ляпунова. Вперше в теорії часових шкал доведено існування функції Ляпунова з певними властивостями для дисипативної системи динамічних рівнянь. Питання про зв'язок між дисипативністю системи диференціальних рівнянь та відповідної їй системи різницевих рівнянь, що є частковим випадком динамічних рівнянь на часових шкалах, коли шкала набуває вигляду T=hℤ з кроком h>0, раніше вивчалось у роботах О. Станжицького та А. Ткачук. У даній роботі такий зв'язок був досліджений між диференціальними та динамічними системами на сім'ї часових шкал з малою функцією зернистості. Визначенню критеріїв коливності розв'язків різних видів динамічних рівнянь на часових шкалах присвячені роботи R. Agarwal, D. O'Regan, G. Guseinov, B. Kaymakcal, L. Erbe, A. Peterson, S. Saker, M. Bohner та інших. Однак, у перерахованих роботах коливність розв'язків динамічних рівнянь досліджується на певних часових шкалах із заданими властивостями, тоді як зв'язок між коливністю розв'язків динамічних рівнянь на шкалах та відповідних диференціальних рівнянь раніше досліджено не було. Даному питанню присвячено один з розділів цієї дисертації, де визначено умови коливності розв'язків лінійного динамічного рівняння другого порядку на загальних часових шкалах при коливності відповідних розв'язків диференціального рівняння та навпаки, а також отримано умови коливності розв'язків слабко нелінійних диференціальних рівнянь другого порядку та слабко нелінійних динамічних рівнянь другого порядку на часових шкалах, за наявності такої властивості у відповідних розв'язків лінійних динамічних рівнянь на часових шкалах та лінійних диференціальних рівнянь на дійсній осі відповідно. У дисертації встановлено, що з існування асимптотично стійкого періодичного розв'язку системи динамічних рівнянь на періодичній часовій шкалі Tλ з періодом τ випливає наявність періодичного з періодом кратним τ розв'язку відповідної системи диференціальних рівнянь і навпаки за умови достатньої малості функції зернистості часової шкали. Усі отримані результати проілюстровано прикладами, що містять побудови виконані за допомогою середовища MATLAB, які відображають поведінку розв'язків систем динамічних рівнянь на часових шкалах при зменшенні функції зернистості. Дисертаційна робота має як теоретичне, так і практичне значення. Отримані в ній теоретичні результати, а також розроблена методика досліджень сприятимуть подальшому розвитку теорії динамічних рівнянь на часових шкалах. Вони також можуть бути використані при дослідженні процесів у біології, економіці, фізиці та інших об'єктів природознавства, математичними моделями яких є динамічні рівняння на часових шкалах.ukдинамічні рівняннядиференціальні рівняннячасова шкалафункція зернистостіобмежені розв'язкиасимптотична стійкістьекспоненційна стійкістьколиваннядисипативністьперіодичність.Dynamic equationsdifferential equationstime scalesgraininess functionbounded solutionsasymptotic stabilityexponential stabilityoscillationdissipativityperiodicityДисертація