Gorodetskaya, N.N.GorodetskayaStarovoit, I.I.StarovoitShcherbak, T.T.Shcherbak2026-04-082026-04-082021-07-21Gorodetskaya, N., Starovoit, I., Shcherbak, T. (2021). PARTICULARS OF A WAVE FIELD IN A SEMI-INFINITE WAVEGUIDE WITH MIXED BOUNDARY CONDITIONS AT ITS EDGE. Journal of Numerical and Applied Mathematics(1), 103–109. https://doi.org/10.17721/2706-9699.2021.1.1310.17721/2706-9699.2021.1.13https://ir.library.knu.ua/handle/15071834/14808The work is devoted to the analysis of the wave field, which is excited by the reflection of the first normal propagation Rayleigh-Lamb wave from the edge of an elastic semi-infinite strip, part of which is rigidly clamped, and part is free from stresses. The boundary value problem belongs to the class of mixed boundary value problems, the characteristic feature of which is the presence of a local feature of stresses at the point of change of the type of boundary conditions. To solve this boundary value problem, the paper proposes a method of superposition, which allows to take into account the feature of stresses due to the asymptotic properties of the unknown coefficients. Asymptotic dependences for coefficients are determined by the nature of the feature, which is known from the solution of the static problem. The criterion for the correctness of the obtained results was the control of the accuracy of the law of conservation of energy, the error of which did not exceed 2% of the energy of the incident wave for the entire considered frequency range. The paper evaluates the accuracy of the boundary conditions. It is shown that the boundary conditions are fulfilled with graphical accuracy along the entire end of the semi-infinite strip, except around a special point ($\epsilon$). In this case, along the clamped end of the semi-infinite strip in the vicinity of a special point of stress remain limited. The presence of the region $\epsilon$ and the limited stresses are due to the fact that the calculations took into account the  $N$ members of the series that describe the wave field, and starting from the $N+1$ member of the series moved to asymptotic values of unknown coefficients, the number of which was also limited to $2N$. As the value  $N$ increased, the accuracy of the boundary conditions increased, the region  $\epsilon$ decreased, and the magnitude of the stresses near the singular point increased.Работа посвящена анализу волнового поля, которое возбуждается при отражении первой нормальной распространяющейся волны Рэлея-Лэмба от торца упругого полуслоя, часть которого жестко закреплена, а часть - свободная от напряжений. Поставленная граничная задача относится к классу смешанных граничных задач, характерной особенностью которых является наличие локальной особенности по напряжениям в точке смены типа граничных условий. Для решения поставленной краевой задачи, в работе предложен метод суперпозиции, который позволяет учесть особенность по напряжениям через асимптотические свойства неизвестных. Асимптотические зависимости для неизвестных определяются характером особенности, который известен с решения статической задачи. Критерием правильности полученных результатов был контроль точности выполнения закона сохранения энергии, погрешность выполнения которого не превышала 2% энергии падающей волны для всего рассматриваемого частотного диапазона. В работе произведена оценка точности выполнения граничных условий. Показано, что граничные условия выполняются с графической точностью по всему торцу полуслоя, за исключением окрестности особой точки ($\epsilon$). При этом, вдоль защемленного торца полуслоя в окрестности особой точки напряжения остаются конечными. Наличие области $\epsilon$ и ограниченность напряжений обусловлена тем, что при расчетах учитывали $N$ членов ряда, которые описывают волновое поле, а начиная с  $N+1$ члена ряда переходили к асимптотическим значениям неизвестных, число которых также было ограничено до $2N$. При увеличении величины $N$  точность выполнения граничных условий увеличивалось, область $\epsilon$ уменьшалась и величина напряжений в окрестности особой точки росла.Робота присвячена аналізу хвильового поля, яке збуджується при відбитті першої нормальної хвилі Релея-Лемба, що поширюється, від торця пружного півшару, частина якого жорстко защемлена, а частина - вільна від напружень. Поставлена гранична задача відноситься до класу змішаних граничних задач, характерною особливістю яких є наявність локальної особливості по напруженням в точці зміни типу граничних умов. Для розв’язання поставленої граничної задачі, в роботі запропоновано метод суперпозиції, який дозволяє врахувати особливість по напруженням через асимптотичні властивості невідомих. Асимптотичні залежності для невідомих визначаються характером особливості, який відомий з розв’язку статичної задачі. Критерієм правильності отриманих результатів був контроль точності виконання закону збереження енергії,похибка виконання якого не перевищувала 2% енергії падаючої хвилі для всього  розглянутого частотного діапазону. В роботі зроблена оцінка точності виконання крайових умов. Показано, що крайові умови виконуються з графічною точністю по всьому торцю півшару, за винятком околу особливої точки $(\epsilon)$.  При цьому, вздовж защемленого торця півшару в околі особливої точки напруження залишаються обмеженими. Наявність  області $\epsilon$ і обмеженість напружень обумовлена тим, що при розрахунках враховували $N$ членів ряду, які описують хвильове поле,  а починаючи з  $N+1$ члену ряду переходили до асимптотичних значень невідомих, число яких також було обмежено до $2N$. При збільшенні величини $N$ точність виконання крайових умов  збільшувалась, область $\epsilon$ зменшувалась і величина напружень в околі особливої точки зростала.ukelastic wavesmixed boundary conditionsenergy analysisпружні хвилізмішана гранична задачаенергетичний аналізупругие волнысмешанная граничная задачаэнергетический анализСтаття